A. Glossar der wichtigsten mathematischen Begriffe
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Bijektiv
Eine Funktion f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall existiert die Umkehrfunktion f -1 von f mit der Eigenschaft (f -1 o f)(x) = (f o f -1)(x) = x
Differenzierbarkeit
Eine Funktion f ist in einem Punkt P(x0, f(x0)) differenzierbar, falls der Differentialquotient in dem Punkt definiert ist. Eine Funktion heißt differenzierbar, falls sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Allgemein gilt folgender Zusammenhang: Differenzierbarkeit ⇒ Stetigkeit
Extrema
Extrema sind Punkte mit größten bzw. kleinsten Funktionswerten innerhalb eines bestimmten Intervalls. Diese Punkte nennt man dann (lokale) Maxima (sing. Maximum) bzw. (lokale) Minima (sing. Minimum). Das Intervall, in der diese Eigenschaften gelten, kann beliebig klein sein. Sofern ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum auf dem gesamten Definitionsbereich der Funktion den absolut größten bzw. kleinsten Funktionswert besitzt, so spricht man von einem globalen Maximum bzw. globalen Minimum.
Funktion
Eine Funktion f ordnet jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich D einen Wert aus dem Wertebereich W zu.
y = f(x) bezeichnet die Funktionsvorschrift, x ist die unabhängige und y die (von x) abhängige Variable. Die Bestimmung des Wertebereiches kann in
Einzelfällen aufwendig sein, deshalb verwendet
man stattdessen die Zielmenge Z mit W ⊆ Z.
Schreibweise: f: D → Z, f(x) = ...
Bei Funktionen des Typs f: IR → IR, f(x) = ... wird häufig nur die Funktionsvorschrift f(x)= ... hingeschrieben.
Injektiv
Eine Funktion f heißt injektiv (eineindeutig), falls jedem Wert der Zielmenge höchstens ein Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet ist. Für jede injektive Funktion f gilt: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Monotonie
Monotonie bezeichnet eine Gleichförmigkeit einer Funktion, dabei sind folgende Unterscheidungen zu treffen:
- streng monoton wachsend: Mit zunehmenden x sind die Funktionswerte immer echt größer als alle vorhergehenden, d.h. f(x2) > f(x1) für x2 > x1 oder einfacher f '(x) > 0
- monoton wachsend: Mit zunehmenden x sind die Funktionswerte immer größer oder gleich als alle vorhergehenden, d.h. f(x2) ≥ f(x1) für x2 > x1 oder einfacher f '(x) ≥ 0
- monoton fallend: Mit zunehmenden x sind die Funktionswerte immer kleiner oder gleich als alle vorhergehenden, d.h. f(x2) ≤ f(x1) für x2 > x1 oder einfacher f '(x) ≤ 0
- streng monoton fallend: Mit zunehmenden x sind die Funktionswerte immer echt kleiner als alle vorhergehenden, d.h. f(x2) < f(x1) für x2 > x1 oder einfacher f '(x) < 0
Sekante
Eine Gerade bezeichnet man als Sekante, wenn diese eine Kurve in mindestens 2 Punkten schneidet.
Stetigkeit
Einfach gesagt: Als stetig bezeichnet man jede Funktion, deren Graphen man ohne abzusetzen zeichnen kann. Das heißt eine stetige Funktion darf keine Definitionslücken, (endliche) Sprungstellen oder Polstellen haben.
Surjektiv
Eine Funktion f heißt surjektiv, falls jedem Wert der Zielmenge mindestens ein Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet ist. D.h. für surjektive Funktionen gilt Wertebereich = Zielmenge.
Tangente
Eine Gerade bezeichnet man als Tangente, wenn diese eine Kurve in nur einem Punkt schneidet.