Analysis

1. Differentialrechnung

In der Mathematik dient die Differentialrechnung als ein mächtiges Werkzeug um Eigenschaften von Funktionen zu bestimmen. Dazu wird untersucht wie die Funktionswerte auf minimale Änderungen der x-Werte reagieren, d.h. die Steigung zwischen benachbarten Punkten wird betrachtet. Dadurch lässt sich feststellen, ob es eindeutige Punkte mit dem größten oder kleinsten (lokalen) Funktionswert (Maximum bzw. Minimum) oder sogenannte Wendepunkte gibt und wo diese liegen.

Darüber hinaus ist die Differentialrechnung auch in den anderen Naturwissenschaften unerlässlich geworden. Eine vergleichweise leicht zu erklärende Anwendung wird am Ende dieses Kapitels vorgestellt: Es wird um die Lösung von Extremalproblemen gehen, die zu den Optimierungsaufgaben zählen. D.h. das Ergebnis stellt den größtmöglichen Nutzen unter den vorgegebenen Bedingungen dar.

Besondere Vorkenntnisse sind mit Ausnahme von etwas Schulmathematik für dieses Kapitel nicht erforderlich. Zu den schrittweisen Erklärungen gibt es zahlreiche Beispiele, Grafiken und Übungsaufgaben.

1.1. Grundlagen

1.1.1. Differenzenquotient

Um die Differentialrechnung verstehen zu können, muss man zunächst wissen wie die Steigung einer Geraden bestimmt wird. Eine lineare Funktion hat als Graph immer eine Gerade und man kann die Funktionsvorschrift in folgender Form schreiben:

Die Konstante m bezeichnet die Steigung der Geraden. Ebenso ist n konstant und bestimmt den y-Wert an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Für die Bestimmung der Steigung braucht man, da m konstant ist, nur 2 verschiedene, beliebige Punkte der Geraden auszuwählen. Diese sollen im folgenden mit P₀(x₀ ; y₀) und P₁(x₁ ; y₁) bezeichnet werden. Dann ergibt sich für die Berechnung die Formel:

Diese Formel wird aufgrund der Terme in Zähler und Nenner als Differenzenquotient bezeichnet.

Alternativ kann man als graphische Lösung ein Steigungsdreieck konstruieren (siehe Abb. 1.1.), womit auch die obere Formel nochmal veranschaulicht wird.

Abb. 1.1. Steigung einer Geraden bestimmen

Beispiel

Gegeben sind die Punkte P₁(3 ; 1) und P₂(5 ; 9) einer Geraden. Die Steigung beträgt also

Läuft man also entlang x-Achse um 1 Einheit in positive Richtung (nach rechts), so erhöht sich in diesem Beispiel der y-Wert um 4 Einheiten. Bei linearen Funktionen ist die Steigung unabhängig von der Wahl der Punkte für das Steigungsdreieck. Wie im nachfolgendem Abschnitt gezeigt wird, ist dies bei nicht-linearen Funktionen nicht der Fall.

Übungen

1. Welche Steigung m haben folgende Geraden, von denen jeweils 2 Punkte bekannt sind?
   1. P₁(1 ; 0) und P₂(11 ; 1)
   2. P₁(-2 ; -1) und P₂(4 ; -7)

1. In der Geradengleichung y = m·x + n gibt n den y-Wert an, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
   Gegeben sind n und ein Punkt P₁, welche Steigung m hat die Gerade?
   
   1. P₁(2 ; 0), n = -1
   2. P₁(5 ; 3), n = 5

Übungsaufgaben und Lösungen