Finanzmathematik

1. Zinsrechnung

Innerhalb der Familie oder auch bei Freunden verborgt man sich gelegtlich schon mal Geld. Für gewöhnlich erhält man dann nach einiger Zeit den gleichen Betrag zurück, den man verliehen hatte. In der Wirtschaft ist das anders, da dort Geld investiert wird um noch mehr davon zu verdienen. Dieser Unterschied zwischen dem eingesetzten Kapital und der Rückzahlung wird als Zins bezeichnet.

Um den Einstieg so einfach wie möglich zu gestalten wird erst einmal von einer jährlichen Zinsgutschrift und einer risikolosen Geldanlage ausgegangen. Weiterhin wird zunächst eine einmalige Geldanlage unterstellt. Dadurch wird die Bedeutung der grundlegenden Formeln klarer und diese können in den nachfolgenden Kapiteln einfach erweitert werden.

1.1. Jährliche Verzinsung

1.1.1. Lineare Verzinsung

Bevor wir beginnen sind einige Bezeichnungen zu klären:

K0		Kapital zu Beginn, Barwert
Kn		Kapital nach n Jahren, Endwert
r		Zinssatz p.a. (lat. per annum = jährlich)
n		Dauer in Jahren

Dann lautet die Formel für die lineare Verzinsung wie folgt:

Kn = K0 ⋅ (1 + r ⋅ n)

Diese Form der Verzinsung berücksichtigt nur das am Anfang eingesetzte Kapital. Bereits gutgeschriebene Zinsen werden nicht mit einbezogen.

Beispiel

Tim hat von seiner Oma 1.000 EUR bekommen und möchte das Geld für 2% p.a. linear verzinst anlegen. Wieviel Geld hat er nach einem halben Jahr?

Durch Einsetzen in die obere Formel erhält man:

K_0,5 = 1.000 EUR ⋅ (1 + 0,02 ⋅ 0,5) = 1.000 ⋅ 1,01 = 1.010 EUR

Dementsprechend hat er also 1.010 EUR - 1.000 EUR = 10 EUR als Zinsen erhalten.

Übungen

1. Welcher Betrag ergibt sich, wenn man 500 EUR für 10 Monate zu 3,6 % p.a. linear verzinst anlegt ?

1. Welchen Betrag muss man zu einem Zinssatz von 0,8 % p.a. bei linearer Verzinsung anlegen,
   um nach 3 Monaten 1.000 EUR angespart zu haben ?

Übungsaufgaben und Lösungen

1.1.2. Das Jahr mit 360 Tagen

Es gibt unterschiedliche Methoden für die Berechnung von Zeiträumen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Zinskonventionen. Diese werden im Format "A / B" angegeben, wobei A die Anzahl der Tage eines Monats und B die Anzahl der Tage eines Jahres beschreibt. Alternativ kann durch die Abkürzung "act" (engl. actual = tatsächlich) eine kalendergenaue Ermittlung festgelegt werden. So beschreibt 30/360, dass jeder Monat 30 und das Jahr 360 Tage hat. Diese wird auch als kaufmännische Zinsmethode bezeichnet. Bei act/act werden Zeiträume Kalendergenau bestimmt (inkl. Schaltjahre!), wohingegen für act/360 nur die Monate exakt bestimmt werden und das Jahr 360 Tage hat.

Beispiel

Wieviele Tagen liegen zwischen dem 01.02.2011 und 01.05.2011?
a) Bei 30/360: 90 Tage = 90/360 Jahre = 0,250 Jahre (3 Monate mit jeweils 30 Tagen)
b) Bei act/360: 89 Tage = 89/360 Jahre = 0,247 Jahre (28 + 31 + 30 Tage)
c) Bei act/act: 89 Tage = 89/365 Jahre = 0,244 Jahre (28 + 31 + 30 Tage)

Auf dieser Internetseite wird immer von der kaufmännischen Zinsmethode 30/360 ausgegangen, die u.a. in Deutschland verwendet wird.

1.1.3. Geometrische Verzinsung

Im Unterschied zur linearen Verzinsung berücksichtigt die geometrische Verzinsung bereits gutgeschriebene Zinsen. Es kommt zu dem sogenannten Zinseszinseffekt und das Kapital wächst exponentiell. Die Formel für das Kapital nach n Jahren bei jährlicher Zinsgutschrift lautet

Kn = K0 ⋅ (1 + r)n

Beispiel

Otto plant 2.000 EUR zu 2,7 % p.a. mit jährlicher Zinsgutschrift bis zum Ende seines Studiums in 5 Jahren anzulegen. Wieviel hat er dann dadurch zur Verfügung?

K₅ = 2.000 EUR ⋅ 1,027⁵ = 2.284,97 EUR

Also hat er dann rund 2.285 EUR zur Verfügung. Nicht schlecht, oder?

Um die Formel für den sogenannten Barwert zu erhalten, muss die Formel nach K₀ umgestellt werden. Damit kann man errechnen wieviel Kapital heute zu vorgegebenen Zins und Dauer angelegt werden muss, um nach n Jahren eine bestimmte Investition tätigen zu können.

K0 =	Kn
	(1 + r)n

Beispiel

Susanne plant in 3 Jahren ein neues Handy zu kaufen. Wieviel Geld muss sie bei einem Zinssatz von 3 % p.a. anlegen, um dann 500 EUR zu erhalten?

K₃ = 500 EUR / 1,03³= 457,57 EUR

Sie muss also lediglich 457,57 EUR anlegen, um ihr Sparziel zu erreichen.

Die Formel kann man natürlich auch nach der Dauer n auflösen.

n =	ln(Kn / K0)
	ln(1 + r)

Statt des natürlichen Logarithmus ln kann man auch den dekadischen Logrithmus in Zähler und Nenner verwenden. Dies bringt jedoch bei der Berechnung keinerlei Vorteile, es sei denn die Taste auf dem Taschenrechner ist kaputt. ;)

Beispiel

Bernd möchte einmalig 1.000 EUR anlegen, nach wie vielen Jahren hat sich das Geld bei 2,5 % p.a. verdoppelt?

n =	ln(2.000 / 1.000)	= 28,07
	ln(1,025)

Er muss also 28,07 Jahre auf die Verdoppelung seines Kapitals warten. Übrigens verdoppelt man den Zinssatz auf 5 % p.a., dann sind es rund 14,21 Jahre. Hier merkt man die Wirkung des Zinseszinseffektes, der umso stärker wirkt je länger die Laufzeit ist. Daher hat die Verdoppelung des Zinssatzes die Dauer nicht exakt halbiert.

Jetzt fehlt nur noch die Umformung nach dem Zinssatz r.

r =	(	Kn	)	1 / n	- 1
		K0

Der Exponent 1 / n ist gleichbedeutet mit der n. Wurzel.

Beispiel

Tim wird angeboten bei Einzahlung von 700 EUR nach 15 Jahren 1.000 EUR zurück zu bekommen. Welcher Zinssatz p.a. wurde hier zu Grunde gelegt?

r =	(	1.000	)	1 / 15	- 1 = 0,02406
		700

Das Kapital wird also mit rund 2,406 % p.a. verzinst.

Übungen

1. Welchen Betrag hat man zur Verfügung, wenn man einmalig 3.000 EUR für 40 Jahre zu 1,4 % p.a. anlegt ?

1. Welcher Betrag muss heute zu 2,9 % p.a. angelegt werden, um nach 10 Jahren 400 EUR angespart zu haben ?

1. Wie viele Jahre dauert es, damit aus 300 EUR Anlagebetrag bei einem Zins von 2,8 % p.a. 500 EUR werden ?

1. Welcher Zinssatz p.a. wurde zu Grunde gelegt, wenn sich bei einem Anlagebetrag von 2.000 EUR nach 10 Jahren 2.400 EUR ergeben ?

Übungsaufgaben und Lösungen

1.1.4. Gemischte Verzinsung

Selbst wenn man gleichen Zinssatz, Anfangskapital und Dauer zu Grunde legt, so fallen die Ergebnisse zwischen der "Linearen Verzinsung" aus 1.1.1. und der "Geometrischen Verzinsung" aus 1.1.3. in der Regel unterschiedlich aus. Lediglich nach einem Jahr sind die Resultate identisch, da dies der Dauer der Zinsperiode entspricht. Davor ergibt sich durch Anwendung der Linearen Verzinsung ein höherer Betrag als bei der Geometrischen Verzinsung, hinterher ist es umgekehrt.

Beispiel

Vergleich des Endkapitals K_n bei Berechnung mit beiden Methoden und 10.000 EUR Geldanlage zu 5 % p.a. jeweils für ein halbes Jahr, ein Jahr und zwei Jahre:

Dauer (in Jahre)	Lineare Verzinsung	Geometrische Verzinsung
0,5	10.250 EUR	10.247 EUR
1	10.500 EUR	10.500 EUR
2	11.000 EUR	11.025 EUR

Um eine Benachteiligung durch die Wahl der Zinsmethode auszuschließen, wird jeweils immer die für den Anleger bestmögliche Berechnungsvorschrift verwendet. Aus diesem Grund ist es üblich Kapital, das innerhalb einer Zinsperiode angelegt oder abgerufen wird, für diese Zinsperiode linear zu verzinsen ansonsten geometrisch.

Beispiel

Lisa zahlt 1.000 EUR zum 01.07.2011 ein und hebt das gesamte Kapital zum 01.07.2020 wieder ab. Der Zinssatz liegt bei 3% p.a. bei jährlicher Zinsgutschrift. Die Zinskonvention ist 30/360. Wieviel Geld hat sie nach den 9 Jahren?

Zeitraum vom 01.07.2011 bis 01.01.2012: K_0,5 = 1.000,00 EUR ⋅ (1 + 0,03 ⋅ 0,5) = 1.015,00 EUR
Zeitraum vom 01.01.2012 bis 01.01.2020: K_8,5 = 1.015,00 EUR ⋅ 1,03⁸ = 1.285,77 EUR
Zeitraum vom 01.01.2020 bis 01.07.2020: K₉ = 1.285,77 EUR ⋅ (1 + 0,03 ⋅ 0,5) = 1.305,06 EUR

Bei reiner geometrischer Verzinsung wären 1.304,77 EUR erreicht worden, das ist immer noch nahe am Ergebnis der gemischten Verzinsung. Bei linearer Verzinsung ergeben sich sogar nur 1.270,00 EUR, weil hier der Zinseszinseffekt fehlt.

Übungen

Welches Endkapital ergibt sich, wenn 100 EUR zu Jahresbeginn für 1 Jahr und 10 Monate zu einem Zinssatz
von 2 % p.a. angelegt werden ?

Übungsaufgaben und Lösungen