Analysis
1. Differentialrechnung
1.1. Grundlagen
1.1.2. Differentialquotient
Im vorangegangenen Abschnitt ging es darum die Steigung von Geraden (also linearen Funktionen) zu bestimmen. Die Anwendung der Differentialrechnung besteht darin, diese auch für nicht-lineare Funktionen berechnen zu können. Im Unterschied zu vorher ergibt sich allerdings je nach Wahl des Ausgangspunktes P0 ein anderer Wert, da der Graph der Funktion eine Kurve ist. In Abb. 1.2. ist dies beispielhaft dargestellt.
Die Idee um die Steigung am Punkt P0(x0, y0) der Funktion f bestimmen zu können, lautet nun eine Gerade mit idealerweise gleichem Anstieg zu konstruieren. Dazu muss man einen weiteren Punkt P(x, y) wählen, der ebenfalls auf der Kurve liegen soll und konstruiert daraus die Gerade gs. Je weiter die Punkte auseinander liegen, desto stärker wird in der Regel dazwischen der Unterschied im Verlauf der Kurve und der Geraden ausfallen.
Aus diesem Grund gleicht sich die Gerade gt in der Nähe von P0 deutlich besser an die Funktion f an (siehe Abb. 1.3.). Damit die Steigung der Geraden und der Funktion übereinstimmen, muss der Abstand zwischen P und P0 "unendlich" klein werden. Dies wird durch den mathematischen Ausdruck lim x→x0 (sprich: Limes x gegen x0) erreicht.
| f '(x0) = | lim | Δy | = | lim | f(x) - f(x0) |
| x→x0 | Δx | x→x0 | x - x0 |
Diesen Ausdruck nennt man Differentialquotient, welcher sich lediglich durch den "lim" vom Differenzenquotient unterscheidet. f '(x0) bezeichnet man auch als Ableitung an der Stelle x0.
Eine alternative Darstellung des Differentialquotienten lässt nicht x gegen x0 laufen, sondern minimiert deren Abstand. Hierzu führt man eine Hilfvariable h ein und setzt h = x - x0. Daraus folgt entsprechend x = x0 + h und es gilt:
| f '(x0) = | lim | f(x0 + h) - f(x0) |
| h→0 | h |
Aufgrund der Verwendung der Hilfsvariablen nennt man diese Darstellung h-Methode. Die Formeln sind absolut gleichwertig, in manchen Fällen führt jedoch eine der beiden schneller zum Ergebnis.
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f(x) = x2.
Es soll die Ableitung an der Stelle x0 = 3 bestimmt werden.
1. Möglichkeit mit der Definition des Differentialquotienten:
| f '(3) = | lim | f(x) - f(3) | = | lim | x2 - 9 |
| x→3 | x - 3 | x→3 | x - 3 |
Vor Anwendung des Limes gilt x ≠ x0, daher kann man hier nach Anwendung der 3. Binomischen Formel kürzen.
| f '(3) = | lim | (x + 3)(x - 3) | = | lim | (x + 3) = 3 + 3 = 6 |
| x→3 | x - 3 | x→3 |
2. Möglichkeit mit der h-Methode:
| f '(3) = | lim | f(3 + h) - f(3) | = | lim | (3 + h)2 - 9 | = | lim | 6h + h2 |
| h→0 | h | h→0 | h | h→0 | h |
Vor Anwendung des Limes gilt h ≠ 0, daher kann man hier nach dem Ausklammern kürzen.
| f '(3) = | lim | h(6 + h) | = | lim | (6 + h) = 6 + 0 = 6 |
| h→0 | h | h→0 |
Die Ableitung von f(x) = x2 an der Stelle x0 = 3 beträgt also 6. Mit Hilfe des Differenzenquotienten kann man das näherungsweise überprüfen, indem man P(x, y) immer dichter an P(x0, y0) wählt. So ergibt sich für x = 4:
| x2 - 9 | = | 42 - 9 | = 7 |
| x - 3 | 4 - 3 |
Für x = 3,1 ergibt sich bereits 6,1 und für x = 3,01 entsprechend 6,01. Diese Berechnung mit den Nährungswerten ist nicht unbedingt erforderlich, aber manchmal ganz nützlich zur Kontrolle des Ergebnisses.
Übungen
Man berechne folgende Ableitungen:
- f(x) = x2 für x0 = 2
- f(x) = 2x für x0 = 1
- f(x) = x3 für x0 = 3