Übungsaufgaben und Lösungen
Finanzmathematik
1. Zinsrechnung
1.1. Jährliche Verzinsung
1.1.1. Lineare Verzinsung
- Welcher Betrag ergibt sich, wenn man 500 EUR für 10 Monate zu 3,6 % p.a. linear verzinst anlegt ?
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Wir setzen die Werte in die Formel für die lineare Verzinsung ein.
Es sind also 515 EUR nach den 10 Monaten vorhanden.
| K10/12 = 500 EUR ⋅ (1 + 0,036 ⋅ 10/12) = 515 EUR |
-
Welchen Betrag muss man zu einem Zinssatz von 0,8 % p.a. bei linearer Verzinsung anlegen,
um nach 3 Monaten 1.000 EUR angespart zu haben ?
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Wir stellen die Formel für die lineare Verzinsung nach K0 um und setzen die Werte ein.
Es müssen zu Beginn also rund 998 EUR vorhanden sein.
| Kn = | K0 ⋅ (1 + r ⋅ n) | ⇔ |
| K0 = | Kn | |
| 1 + r ⋅ n | ||
| K0 = | 1.000 EUR | = 998 EUR |
| 1 + 0,008 ⋅ 0,25 |
1.1.3. Geometrische Verzinsung
- Welchen Betrag hat man zur Verfügung, wenn man einmalig 3.000 EUR für 40 Jahre zu 1,4 % p.a. anlegt ?
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Wir verwenden die Formel für die geometrische Verzinsung.
Nach 40 Jahren sind also rund 5.232 EUR vorhanden.
| Kn | = | K0 ⋅ (1 + r)n | ||
| K40 | = | 3.000 EUR ⋅ (1 + 0,014)40 | = | 5.231,66 EUR |
- Welcher Betrag muss heute zu 2,9 % p.a. angelegt werden, um nach 10 Jahren 400 EUR angespart zu haben ?
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Wir verwenden die Formel für die geometrische Verzinsung, umgeformt nach dem Anfangskapital K0.
Es müssen also zu Beginn rund 300,54 EUR angelegt werden.
| K0 = | Kn |
| (1 + r)n | |
| K0 = | 400 EUR |
| (1 + 0,029)10 | |
| K0 = | 300,54 EUR |
- Wie viele Jahre dauert es, damit aus 300 EUR Anlagebetrag bei einem Zins von 2,8 % p.a. 500 EUR werden ?
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Wir verwenden die Formel für die geometrische Verzinsung, umgeformt nach der Dauer n.
Es dauert also rund 18,5 Jahre.
| n = | ln(Kn / K0) | |
| ln(1 + r) | ||
| n = | ln(500 / 300) | = 18,5 |
| ln(1,028) |
- Welcher Zinssatz p.a. wurde zu Grunde gelegt, wenn sich bei einem Anlagebetrag von 2.000 EUR nach 10 Jahren 2.400 EUR ergeben ?
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Wir verwenden die Formel für die geometrische Verzinsung, umgeformt nach dem Zinssatz r.
Es liegt also ein Zinssatz von rund 1,84 % p.a. zu Grunde.
| r = | ( | Kn | ) | 1 / n | - 1 | |
| K0 | ||||||
| r = | ( | 2.400 | ) | 1 / 10 | - 1 | = 0,0184 |
| 2.000 |
1.1.4. Gemischte Verzinsung
Welches Endkapital ergibt sich, wenn 100 EUR zu Jahresbeginn für 1 Jahr und 10 Monate zu einem Zinssatz
von 2 % p.a. angelegt werden ?
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Wir berechnen den Endwert K1,83, indem wir das 1. Jahr mit der geometrischen Verzinsung und die restliche Dauer von 10 Monaten mit linearer Verzinsung berechnen.
Es ergibt sich demnach ein Endbetrag von 103,70 EUR.
| K1,83 | = | 100 EUR ⋅ (1 + 0,02) ⋅ (1 + 0,02 ⋅ 10/12) = 103,70 EUR |