Finanzmathematik

1. Zinsrechnung

1.2. Unterjährige Verzinsung

Zinsgutschriften müssen nicht zwangsläufig am Jahresende erfolgen, sondern können auch mehrmals innerhalb eines Jahres in gleichen zeitlichen Abständen auftreten. Sollte die Anzahl dieser Zinsgutschriften endlich sein, so bezeichnet man die Verzinsung als diskret ansonsten als stetig.

1.2.1. Diskrete Verzinsung

Für weitere Erläuterungen werden noch folgende neue Bezeichnungen benötigt:

m		Anzahl der Zinsperioden pro Jahr
rm		effektiver Jahreszins
u		nomineller Jahreszins

Bisher wurde von einer Zinsgutschrift pro Jahr (m = 1) ausgegangen. In der Realität treten aber auch vierteljährliche (m = 4) oder monatliche Zinsgutschriften (m = 12) auf. Für das Kapital nach 1 Jahr gilt dann:

K1 = K0 ⋅	(	1 +	u	)	m
			m

Der gleiche Betrag soll sich ergeben, wenn das Kapital zu Beginn K₀ mit dem effektiven Jahreszins r_m verzinst wird.

K1 = K0 (1 + rm)

Demnach kann der effektiven Jahreszins r_m wie folgt berechnet werden:

rm =	(	1 +	u	)	m	- 1
			m

Beispiel

Bei einer Kapitalanlage von 1.000 EUR zu 3 % p.a. nomineller Zins ergeben sich in Abhängigkeit von m folgendes Endkapital K₁ und der dementsprechende effektive Jahreszins r_m:

m =   1 => K₁ = 1.030,00 EUR und r₁ = 3,00 %
m =   2 => K₁ = 1.030,23 EUR und r₂ = 3,02 %
m =   4 => K₁ = 1.030,34 EUR und r₄ = 3,03 %
m = 12 => K₁ = 1.030,42 EUR und r₁₂ = 3,04 %

Das Kapital am Jahresende steigt also mit wachsendem m an.

Übungen

1. Welcher Betrag ergibt sich, wenn 200 EUR für 1 Jahr mit einem nominellen Zinssatz von 2,5 % bei
   monatlicher Verzinsung angelegt werden ?

1. Welchem effektiven Jahreszins entspricht ein nomineller Zinssatz von 1,7 % p.a. bei vierteljährlicher Verzinsung ?

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.2. Stetige Verzinsung

Wie wir gerade gesehen haben, bewirkt eine Erhöhung der Zinsperioden pro Jahr m ein Ansteigen der jährlichen Effektivverzinsung r_m. Setzt man dies immer weiter fort, geht man zu einer stetigen Verzinsung über. Der Effektivzins und damit das Endkapital wird trotzdem nicht unendlich groß, wie jetzt gezeigt wird:

K1 =	lim	K0 ⋅	(	1 +	u	)	m
	m→∞				m

K₀ hängt nicht von m ab, daher kann man es vor den Limes schreiben. Weiterhin setzen wir m = u ⋅ k, wobei k einfach eine natürliche Zahl ist. Somit erhält man:

K1 = K0 ⋅	lim	(	1 +	1	)	u ⋅ k
	(u⋅k)→∞			k

Das u spielt innerhalb des Limes keine Rolle, da es sich um eine Konstante handelt und wird einfach weggelassen. Mit Hilfe der Definition der Eulerschen Zahl e

e =	lim	(	1 +	1	)	k
	k→∞			k

erhält man die Formel für das Kapital nach 1 Jahr bei stetiger Verzinsung:

K1 = K0 ⋅ eu

Die Formel für den Effektivzins gilt entsprechend.

r = eu - 1

Beispiel

Bei einer Kapitalanlage von 1.000 EUR zu 3 % p.a. nomineller Zins ergeben sich bei stetiger Verzinsung folgendes Endkapital K₁ und der dementsprechende effektive Jahreszins r:

K₁ = 1.030,45 EUR und r = 3,045 %

Übungen

1. Welcher Betrag ergibt sich, wenn 1.500 EUR für 1 Jahr mit einem nominellen Zinssatz von 2,3 % bei
   stetiger Verzinsung angelegt werden ?

1. Welchem effektiven Jahreszins entspricht ein nomineller Zinssatz von 3,2 % p.a. bei stetiger Verzinsung ?

Übungsaufgaben und Lösungen