Finanzmathematik

2. Zahlungsströme

2.1. Grundlagen

2.1.1. Finanzmathematisches Äquivalenzprinzip

Wie durch die vorangegangenen Abschnitte gezeigt wurde, wächst ein vorgegebenes Anfangskapital K₀ durch Verzinsung mit der Zeit an. Ebenfalls spielt für das Endkapital K_n nicht nur der Zinssatz sondern auch die Dauer eine wesentliche Rolle. Je nachdem zu welchem Zeitpunkt t man das Kapital betrachtet, fällt dessen Wert unterschiedlich aus. Aus diesem Grund muss bei dem Vergleich zwischen verschiedenen Kapitalanlagen der Beobachtungszeitpunkt übereinstimmen.

Das Finanzmathematische Äquivalenzprinzip sagt nun aus, das Kapitalanlagen nur verglichen werden dürfen, wenn sie zuvor auf den gleichen Zeitpunkt abgezinst bzw. aufgezinst worden sind. Die Wahl des Zeitpunktes ist nicht von Bedeutung. In der Praxis wird jedoch häufig der "heutige" Wert verwendet, man spricht auch vom Barwert. Nehmen wir also an, dass bei einer Kapitalanlage in t Jahren eine Rückzahlung Z_t erfolgt. Dann lautet die Formel zur Berechnung des Barwertes (engl. present value) wie folgt:

K0 =	Zt	= Zt ⋅ q-t
	(1 + r)t

Dabei wird q = 1 + r verwendet um die Formel etwas kürzer schreiben zu können.

Beispiel

Lisa möchte 1.000 EUR anlegen und kann verschiedene Formen der Rückzahlung wählen.
Bei Variante A erhält sie nach 3 Jahren 1.080 EUR zurück, bei Variante B sind es nach 5 Jahren 1.125 EUR.
Es wird ein konstanter Zinssatz von 2,5 % p.a. am Kapitalmarkt unterstellt. Welches Angebot ist aus heutiger Sicht mehr wert ?

Variante A:   1.080 EUR ⋅ 1,025 ^-3 = 1.002,89 EUR
Variante B:   1.125 EUR ⋅ 1,025 ^-5 = 994,34 EUR

Für die 1.000 EUR Anlagebetrag sollte Lisa Variante A wählen, da deren Rückzahlung heute 1.002,89 EUR wert ist. Wohingegen bei Variante B die Rückzahlung aus heutiger Sicht nur 994,34 EUR Wert wäre und somit eine ungünstige Wahl. Das wäre nicht aufgefallen, wenn man nur die Beträge verglichen hätte ohne die Fälligkeiten zu beachten.

Übungen

1. Welche Kapitalanlage ist bei gleichem Anlagebetrag und einem konstanten Zinssatz
   von 2 % p.a. aus heutiger Sicht mehr wert ?
   
   Variante A: Rückzahlung von 1.200 EUR in 4 Jahren
   Variante B: Rückzahlung von 1.400 EUR in 10 Jahren
   

1. Welche Kapitalanlage ist bei gleichem Anlagebetrag und einem konstanten Zinssatz
   von 3 % p.a. aus heutiger Sicht mehr wert ?
   
   Variante A: Rückzahlung von 1.200 EUR in 4 Jahren
   Variante B: Rückzahlung von 1.400 EUR in 10 Jahren
   

Übungsaufgaben und Lösungen

2.1.2. Bewertung von Zahlungsströmen

Bisher sind wir immer von einer einmaligen Kapitalanlage und Rückzahlung ausgegangen. In der Praxis gibt es jedoch Finanzprodukte, bei denen während der Laufzeit mehrere Zahlungen stattfinden. Für die Berechnung des Barwertes wird jede einzelne Zahlung entsprechend ihrer Fälligkeit abgezinst und dann anschließend summiert. Die Formel für die Berechnung lautet dementsprechend wie folgt:

K0 =	n	Zt	=	n	Zt ⋅ q-t
	Σ			Σ
		(1 + r)t
	t = 1			t = 1

Beispiel

Tom möchte von einem Sparkonto in 2 Jahren 150 EUR, in 4 Jahren 250 EUR und schließlich nach 5 Jahren 400 EUR abheben. Wieviel Geld muss er dafür heute bei einem konstanten Zinssatz von 2,6 % p.a. anlegen?

K0 =	150	+	250	+	400	= 719,92
	1,0262		1,0264		1,0265

Er muss also 719,92 EUR anlegen, um die Beträge zu den entsprechenden Zeitpunkten abheben zu können.

Selbstverständlich kann man auch den Wert einer Zahlungsreihe zum Ende der Laufzeit, den sogenannten Endwert, bestimmen. Die Herleitung erfolgt, indem man die Formel für den Barwert um n Jahre aufzinst.

Kn = K0 ⋅ (1 + r)n  =	n	Zt ⋅ (1 + r)n	=	n	Zt ⋅ qn - t
	Σ			Σ
		(1 + r)t
	t = 1			t = 1

Beispiel

Susanne legt heute 200 EUR und in 3 Jahren nochmal 500 EUR bei einem konstanten Zinssatz von 3 % p.a. an. Wieviel Geld hat sie nach 10 Jahren auf diese Weise angespart?

Kn = 200 ⋅ 1,03(10 - 0) + 500 ⋅ 1,03(10 - 3) = 883,72

Übungen

1. Ein Unternehmen plant die Investition in eine Werbekampagne im Wert von 50.000 EUR und
   erwartet dadurch in den nächsten 3 Jahren zusätzliche Gewinne von mindestens 30.000 EUR, 15.000 EUR und 8.500 EUR.
   Es wird ein konstanter Zinssatz von 2,4 % p.a. am Kapitalmarkt unterstellt.
   Sollte das Unternehmen in die Werbekampagne investieren ?

1. Welches Kapital ergibt sich nach 20 Jahren, wenn heute 1.000 EUR, in 8 Jahren nochmal 1.500 EUR und
   in 15 Jahren zusätzlich 2.000 EUR zu einem konstanten Zinssatz von 2,8 % p.a. angelegt werden ?

Übungsaufgaben und Lösungen

2.1.3. Methode des internen Zinsfußes

Bei der Berechnung von Bar- und Endwerten wird immer ein vorgegebenes konstantes Zinsniveau unterstellt. Der Vergleich von verschiedenen Finanzprodukten kann schon durch einen geringfügig anderen Zinssatz unterschiedlich ausfallen. Darüber hinaus interessiert natürlich auch wie groß der Unterschied ist. Die Idee ist also den Zinssatz nicht mehr vorzugeben, sondern zu bestimmen. Dafür wird die Barwertformel so umgestellt das alle Terme auf einer Seite stehen.

0 = - K0 +	n	Zt	= - K0 +	n	Zt ⋅ q-t
	Σ			Σ
		(1 + r)t
	t = 1			t = 1

Für die Berechnung eignet sich eher die Endwertform, daher wird die Gleichung wieder mit (1 + r)ⁿ multipliziert.

0 = - K0 ⋅ (1 + r)n +	n	Zt ⋅ (1 + r)n
	Σ
		(1 + r)t
	t = 1

Die Gleichung kann mit q = 1 + r kürzer geschrieben werden.

0 = - K0 ⋅ qn +	n	Zt ⋅ qn - t
	Σ
	t = 1

Eine direkte Berechnung des Zinssatzes ist meist leider nicht möglich. Dann eignen sich das Bisektions- oder das Newton-Verfahren für die Bestimmung des gesuchten Zinssatzes.

Beispiel

Erik kann heute für die Einmalzahlung von 1.000 EUR in 1 Jahr 360 EUR und zusätzlich in 2 Jahren 700 EUR zurückbekommen. Welcher Zinssatz liegt der Kapitalanlage zu Grunde?

Verwendet man die Endwertform ist die nachfolgende Gleichung zu lösen:

- 1.000 ⋅ q2 + 360 ⋅ q + 700 = 0

q2 - 0,360 ⋅ q - 0,700 = 0

Nun kann man die P-Q-Formel (Alternativ: Quadratische Ergänzung) verwenden um die quadratische Gleichung zu lösen.

q1,2 = 0,18 ± √0,0324 + 0,7

q1,2 = 0,18 ± 0,8558

Da für q ≥ 0 gelten muss (q = 0 entspricht dem Totalverlust), lautet die einzige zulässige Lösung q = 1,0358 ⇒ r = 0,0358

Übungen

Welcher Zinssatz liegt einem Kredit in Höhe von 400 EUR zu Grunde, bei dem eine Rückzahlung von 300 EUR nach 1 Jahr und weitere 150 EUR nach 2 Jahren erfolgen soll ?

Übungsaufgaben und Lösungen