Finanzmathematik

2. Zahlungsströme

2.2. Rentenrechnung

Als Rente bezeichnet man allgemein in gleichen Zeitabständen wiederkehrende Zahlungen. Man unterscheidet dabei zwischen vorschüssigen Renten, wo die Zahlungen immer am Anfang einer Rentenperiode (z.B. Jahresanfang) erfolgen. Bei nachschüssigen Renten finden Zahlungen immer zum Ende einer Rentenperiode (z.B. Jahresende) statt.

Zunächst gehen wir von einer konstanten Rentenhöhe aus. Es gibt jedoch auch dynamische Renten, bei denen die Rentenhöhe über die Laufzeit linear oder geometrisch steigt bzw. fällt.

2.2.1. Jährlich nachschüssige Renten

Beginnen wir zunächst mit einer nachschüssigen jährlichen Rente, die über eine Laufzeit von n Jahren gezahlt wird.

Wie anhand der Abb. 2.1. zu sehen ist, erfolgt die erste Zahlung der Rentenhöhe R bei t = 1 und die letzte Zahlung bei t = n. Der Rentenendwert K_[n], also der Wert der Zahlungsreihe zum Zeitpunkt t = n, kann wie folgt hergeleitet werden:

K[n] = R ⋅ ( qn - 1 + qn - 2 + ... + q0)

Durch die Erweiterung mit q - 1 fallen alle Summanden bis auf qⁿ - 1 weg.

K[n] = R ⋅ ( qn - 1 + qn - 2 + ... + 1) ⋅	q - 1
	q - 1

K[n] = R ⋅	( qn + qn - 1 + ... + q) - ( qn - 1 + qn - 2 + ... + 1)
	q - 1

Die Formel für die Berechnung des Rentenendwertes lautet dann

K[n] = R ⋅	qn - 1
	q - 1

Beispiel

Tina zahlt 7 Jahre lang 1.000 EUR jeweils am Jahresende auf ein Sparkonto ein. Der Zinssatz beträgt 2,5 % p.a. . Wieviel Kapital hat sie dann zur Verfügung?

K[7] = 1.000 EUR ⋅	1,0257 - 1	= 7.547,43 EUR
	1,025 - 1

Den nachschüssigen Rentenbarwert a_[n] kann man berechnen, indem man den Rentenendwert n Jahre abzinst:

a[n] = K[n] ⋅ q-n = R ⋅	qn - 1
	qn ⋅ (q - 1)

Beispiel

Albert möchte seine Schwester 5 Jahre lang mit jährlich 200 EUR unterstützen. Wieviel Geld muss er heute dafür bei 1,7 % p. a. anlegen um jeweils am Jahresende den Betrag zur Verfügung zu haben?

a[5] = 200 EUR ⋅	1,0175 - 1	= 950,96 EUR
	1,0175 ⋅ (1,017 - 1)

Übungen

1. Es sollen 18 Jahre lang jeweils zum Jahresende 200 EUR bei einem Zinssatz von 1,5 % p.a. angelegt werden. Welcher Betrag steht am Ende der Laufzeit zur Verfügung ?

1. Welcher Betrag muss zu einem Zinssatz von 2,1 % p.a. angelegt werden, um daraus eine 10 Jährige jährlich nachschüssige Rente in Höhe von 1.000 EUR bezahlen zu können ?

1. Welche Höhe hat eine 5 Jährige jeweils zum Jahresende gezahlte Rente, wenn dafür am Anfang 4.000 EUR zur Verfügung stehen und diese zu einem Zinssatz von 3 % p.a. angelegt werden ?

Übungsaufgaben und Lösungen

2.2.2. Jährlich vorschüssige Renten

Bei einer jährlich vorschüssigen Rente erfolgen die Zahlungen jeweils am Jahresanfang.

Dementsprechend findet die erste der n jährigen Rentenzahlungen zum Zeitpunkt t = 0 und die letzte bei t = n - 1 statt. Der Rentenendwert K_n kann so ähnlich wie vorher hergeleitet werden:

K[n] = R ⋅ ( qn + qn - 1 + ... + q)

Es wird wieder mit q - 1 erweitert und zusätzlich ein q ausgeklammert.

K[n] = R ⋅ ( qn - 1 + qn - 2 + ... + 1) ⋅	q⋅(q - 1)
	q - 1

K[n] = R ⋅	q⋅(qn - 1)
	q - 1

Beispiel

Heike möchte als Altersvorsorge 40 Jahre lang jeweils 1.000 EUR am Jahresanfang zu einem Zinssatz von 3,2 % p.a. anlegen. Wieviel Geld hat sie dann zur Verfügung?

K[40] = 1.000 EUR ⋅	1,032⋅(1,03240 - 1)	= 81.438,78 EUR
	1,032 - 1

Der vorschüssige Rentenbarwert ä_[n] berechnet sich wie folgt:

ä[n] = R ⋅	q⋅(qn - 1)	= R ⋅	qn - 1
	qn⋅(q - 1)		qn - 1⋅(q - 1)

Beispiel

Was ist der heutige Wert einer 10 Jährigen vorschüssigen Rente in Höhe von 500 EUR bei 2,0 % p.a. ?

ä[n] = 500 EUR ⋅	1,0210 - 1	= 4.581,12 EUR
	1,029⋅(1,02 - 1)

Übungen

1. Es sollen 8 Jahre lang jeweils zum Jahresanfang 1.500 EUR bei einem Zinssatz von 2,3 % p.a. angelegt werden. Welcher Betrag steht am Ende der Laufzeit zur Verfügung ?

1. Welcher Betrag muss zu einem Zinssatz von 2,8 % p.a. angelegt werden, um daraus eine 30 Jährige jährlich vorschüssige Rente in Höhe von 700 EUR bezahlen zu können ?

Übungsaufgaben und Lösungen