Übungsaufgaben und Lösungen
Finanzmathematik
2. Zahlungsströme
2.2. Rentenrechnung
2.2.1. Jährlich nachschüssige Renten
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Es sollen 18 Jahre lang jeweils zum Jahresende 200 EUR bei einem Zinssatz von 1,5 % p.a. angelegt werden.
Welcher Betrag steht am Ende der Laufzeit zur Verfügung ?
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Wir verwenden die Formel zur Berechnung des nachschüssigen Rentenendwerts.
Am Ende der Laufzeit stehen rund 4.097,88 EUR zur Verfügung.
| K[n] | = | R | ⋅ | qn - 1 | ||
| q - 1 | ||||||
| K[18] | = | 200 EUR | ⋅ | 1,01518 - 1 | = | 4.097,88 EUR |
| 1,015 - 1 |
- Welcher Betrag muss zu einem Zinssatz von 2,1 % p.a. angelegt werden, um daraus eine 10 Jährige jährlich nachschüssige Rente in Höhe von 1.000 EUR bezahlen zu können ?
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Wir verwenden die Formel zur Berechnung des nachschüssigen Rentenbarwerts.
Es muss demnach ein Betrag von rund 8.935,77 EUR angelegt werden.
| a[n] | = | R | ⋅ | qn - 1 | ||
| qn ⋅ (q - 1) | ||||||
| a[10] | = | 1.000 EUR | ⋅ | 1,02110 - 1 | = | 8.935,77 EUR |
| 1,02110 ⋅ (1,021 - 1) |
-
Welche Höhe hat eine 5 Jährige jeweils zum Jahresende gezahlte Rente, wenn dafür am Anfang 4.000 EUR
zur Verfügung stehen und diese zu einem Zinssatz von 3 % p.a. angelegt werden ?
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Wir stellen die Formel zur Berechnung des nachschüssigen Rentenbarwerts nach der Rentenhöhe um.
Die Rente beträgt demnach rund 873,42 EUR.
| a[n] | = | R | ⋅ | qn - 1 | ⇒ | |
| qn ⋅ (q - 1) | ||||||
| R | = | a[n] | ⋅ | qn ⋅ (q - 1) | ||
| qn - 1 | ||||||
| R | = | 4.000 EUR | ⋅ | 1,035 ⋅ (1,03 - 1) | = | 873,42 EUR |
| 1,035 - 1 |
2.2.2. Jährlich vorschüssige Renten
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Es sollen 8 Jahre lang jeweils zum Jahresanfang 1.500 EUR bei einem Zinssatz von 2,3 % p.a. angelegt werden.
Welcher Betrag steht am Ende der Laufzeit zur Verfügung ?
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Wir verwenden die Formel zur Berechnung des vorschüssigen Rentenendwerts.
Am Ende der Laufzeit stehen rund 13.311,01 EUR zur Verfügung.
| K[n] | = | R | ⋅ | q⋅(qn - 1) | ||
| q - 1 | ||||||
| K[8] | = | 1.500 EUR | ⋅ | 1,023⋅(1,0238 - 1) | = | 13.311,01 EUR |
| 1,023 - 1 |
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Welcher Betrag muss zu einem Zinssatz von 2,8 % p.a. angelegt werden, um daraus eine
30 Jährige jährlich vorschüssige Rente in Höhe von 700 EUR bezahlen zu können ?
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Wir verwenden die Formel zur Berechnung des vorschüssigen Rentenbarwerts.
Es muss demnach ein Betrag von rund 14.476,21 EUR angelegt werden.
| ä[n] | = | R | ⋅ | qn - 1 | ||
| qn - 1 ⋅ (q - 1) | ||||||
| ä[30] | = | 700 EUR | ⋅ | 1,02830 - 1 | = | 14.476,21 EUR |
| 1,02829 ⋅ (1,028 - 1) |