Übungsaufgaben und Lösungen
Finanzmathematik
2. Zahlungsströme
2.1. Grundlagen
2.1.1. Finanzmathematisches Äquivalenzprinzip
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Welche Kapitalanlage ist bei gleichem Anlagebetrag und einem konstanten Zinssatz
von 2 % p.a. aus heutiger Sicht mehr wert ?
Variante A: Rückzahlung von 1.200 EUR in 4 Jahren
Variante B: Rückzahlung von 1.400 EUR in 10 Jahren
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Wir berechnen den Barwert der jeweiligen Zahlungen, indem wir diese entsprechend ihrer Fälligkeiten abzinsen.
Variante A: 1.200 EUR ⋅ 1,02 -4 = 1.108,61 EUR
Variante B: 1.400 EUR ⋅ 1,02 -10 = 1.148,49 EUR
Bei einem konstanten Zinssatz von 2 % p.a. ist die Variante B aus heutiger Sicht mehr wert.
Variante A: 1.200 EUR ⋅ 1,02 -4 = 1.108,61 EUR
Variante B: 1.400 EUR ⋅ 1,02 -10 = 1.148,49 EUR
Bei einem konstanten Zinssatz von 2 % p.a. ist die Variante B aus heutiger Sicht mehr wert.
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Welche Kapitalanlage ist bei gleichem Anlagebetrag und einem konstanten Zinssatz
von 3 % p.a. aus heutiger Sicht mehr wert ?
Variante A: Rückzahlung von 1.200 EUR in 4 Jahren
Variante B: Rückzahlung von 1.400 EUR in 10 Jahren
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Wir berechnen den Barwert der jeweiligen Zahlungen, indem wir diese entsprechend ihrer Fälligkeiten abzinsen.
Variante A: 1.200 EUR ⋅ 1,03 -4 = 1.066,18 EUR
Variante B: 1.400 EUR ⋅ 1,03 -10 = 1.041,73 EUR
Bei einem konstanten Zinssatz von 3 % p.a. ist nun die Variante A aus heutiger Sicht mehr wert, da man die Rückzahlung von 1.200 EUR noch weitere 6 Jahre anlegen kann und damit dann 1.200 EUR ⋅ 1,036= 1.432,86 EUR nach insgesamt 10 Jahren erhält.
Variante A: 1.200 EUR ⋅ 1,03 -4 = 1.066,18 EUR
Variante B: 1.400 EUR ⋅ 1,03 -10 = 1.041,73 EUR
Bei einem konstanten Zinssatz von 3 % p.a. ist nun die Variante A aus heutiger Sicht mehr wert, da man die Rückzahlung von 1.200 EUR noch weitere 6 Jahre anlegen kann und damit dann 1.200 EUR ⋅ 1,036
2.1.2. Bewertung von Zahlungsströmen
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Ein Unternehmen plant die Investition in eine Werbekampagne im Wert von 50.000 EUR und
erwartet dadurch in den nächsten 3 Jahren zusätzliche Gewinne von mindestens 30.000 EUR, 15.000 EUR und 8.500 EUR.
Es wird ein konstanter Zinssatz von 2,4 % p.a. am Kapitalmarkt unterstellt.
Sollte das Unternehmen in die Werbekampagne investieren ?
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Wir berechnen den Barwert der Zahlungen.
Basierend auf den Annahmen sollte das Unternehmen in die Werbekampagne investieren, da diese aus heutiger Sicht rund 51.518 EUR wert ist.
| K0 = | n | Zt ⋅ q-t |
| Σ | ||
| t = 1 |
| K0 = | 30.000 EUR | + | 15.000 EUR | + | 8.500 EUR | = 51.518 EUR |
| 1,0241 | 1,0242 | 1,0243 |
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Welches Kapital ergibt sich nach 20 Jahren, wenn heute 1.000 EUR, in 8 Jahren nochmal 1.500 EUR und
in 15 Jahren zusätzlich 2.000 EUR zu einem konstanten Zinssatz von 2,8 % p.a. angelegt werden ?
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Wir berechnen den Endwert der Zahlungen.
Es ergibt sich demnach ein Endwert von rund 6.122,71 EUR.
| Kn = | n | Zt ⋅ qn - t |
| Σ | ||
| t = 1 |
| Kn | = | 1.000 EUR ⋅ 1,028(20 - 0) | + 1.500 EUR ⋅ 1,028(20 - 8) + |
| 2.000 EUR ⋅ 1,028(20 - 15) | |||
| = | 6.122,71 EUR |
2.1.3. Methode des internen Zinsfußes
Welcher Zinssatz liegt einem Kredit in Höhe von 400 EUR zu Grunde, bei dem eine Rückzahlung von 300 EUR nach 1 Jahr und weitere 150 EUR nach 2 Jahren erfolgen soll ?
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Wir verwenden die Formel in der Endwertform.
Nun kann man die P-Q-Formel (Alternativ: Quadratische Ergänzung) verwenden um die quadratische Gleichung zu lösen.
Da für q ≥ 0 gelten muss (q = 0 entspricht dem Totalverlust), lautet die einzige zulässige Lösung q = 1,0931 und somit ist r = 0,0931.
Der gesuchte Zinssatz beträgt also rund 9,31 %.
| 0 = - K0 ⋅ qn + | n | Zt ⋅ qn - t |
| Σ | ||
| t = 1 |
| 0 | = | - 400 ⋅ q2 + 300 ⋅ q + 150 |
| 0 | = | q2 - 0,75 ⋅ q - 0,375 |
| q1,2 | = | 0,375 ± √0,140625 + 0,375 |
| q1,2 | = | 0,375 ± 0,7181 |
Der gesuchte Zinssatz beträgt also rund 9,31 %.