Übungsaufgaben und Lösungen
Analysis
1. Differentialrechnung
1.1. Grundlagen
1.1.1. Differenzenquotient
-
Welche Steigung m haben folgende Geraden, von denen jeweils 2 Punkte bekannt sind?
- P1(1 ; 0) und P2(11 ; 1)
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Wir verwenden die Formel zur Berechnung der Steigung m.
| m = | Δy | = | 1 - 0 | = 0,1 |
| Δx | 11 - 1 |
- P1(-2 ; -1) und P2(4 ; -7)
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Wir verwenden die Formel zur Berechnung der Steigung m.
| m = | Δy | = | -7 - (-1) | = -1 |
| Δx | 4 - (-2) |
-
In der Geradengleichung y = m·x + n gibt n den y-Wert an, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Gegeben sind n und ein Punkt P1, welche Steigung m hat die Gerade?
- P1(2 ; 0), n = -1
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n gibt den y-Wert an, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. Somit ist der Schnittpunkt der y-Achse P2(0 ; n),
hier ist also P2(0 ; -1).
Nun wenden wir wieder die Formel an.
hier ist also P2(0 ; -1).
Nun wenden wir wieder die Formel an.
| m = | Δy | = | -1 - 0 | = 0,5 |
| Δx | 0 - 2 |
- P1(5 ; 3), n = 5
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n gibt den y-Wert an, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. Somit ist der Schnittpunkt der y-Achse P2(0 ; n),
hier ist also P2(0 ; 5).
Nun wenden wir wieder die Formel an.
hier ist also P2(0 ; 5).
Nun wenden wir wieder die Formel an.
| m = | Δy | = | 5 - 3 | = - 0,4 |
| Δx | 0 - 5 |
1.1.2. Differentialquotient
Man berechne folgende Ableitungen:
- f(x) = x2 für x0 = 2
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Wir verwenden zunächst einmal die Definition des Differentialquotienten.
Genau wie im Beispiel, gilt vor Anwendung des Limes x ≠ x0. Deshalb kann nach der Verwendung der 3. Binomischen Formel wieder gekürzt werden.
| f '(2) = | lim | f(x) - f(2) | = | lim | x2 - 4 |
| x→2 | x - 2 | x→2 | x - 2 |
| f '(2) = | lim | (x + 2)(x - 2) | = | lim | (x + 2) = 2 + 2 = 4 |
| x→2 | x - 2 | x→2 |
- f(x) = 2x für x0 = 1
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Wir verwenden zunächst einmal die Definition des Differentialquotienten.
Hier muss man lediglich die 2 ausklammern und kann dann wieder kürzen.
| f '(1) = | lim | f(x) - f(1) | = | lim | 2x - 2 |
| x→1 | x - 1 | x→1 | x - 1 |
| f '(1) = | lim | 2(x - 1) | = | lim | (2) = 2 |
| x→1 | x - 1 | x→1 |
- f(x) = x3 für x0 = 3
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Wir verwenden zunächst einmal die Definition des Differentialquotienten.
Genau wie im Beispiel, gilt vor Anwendung des Limes x ≠ x0. Darum können wir eine Polynomdivision durchführen
und erhalten (x3 - 27) : (x - 3) = x2 + 3x + 9 .
Dieses Ergebnis setzen wir ein.
| f '(3) = | lim | f(x) - f(3) | = | lim | x3 - 27 |
| x→3 | x - 3 | x→3 | x - 3 |
und erhalten (x3 - 27) : (x - 3) = x2 + 3x + 9 .
Dieses Ergebnis setzen wir ein.
| f '(3) = | lim | (x2 + 3x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27 |
| x→3 |
1.1.4. Ableitungsfunktion
Man berechne die folgenden Ableitungsfunktionen:
- f(x) = 2x - 1
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Wir bestimmen die Ableitung an einer belieben Stelle x0 mit Hilfe des Differentialquotienten.
Nachdem man die 2 ausgeklammert hat, kann man kürzen, da vor Anwendung des Limes x ≠ x0 gilt.
Die Ableitungsfunktion von f(x) = 2x - 1 lautet also f '(x) = 2 und ist somit konstant.
| f '(x0) = | lim | f(x) - f(x0) | = | lim | 2x - 1 - (2x0 - 1) |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 | x - x0 |
| f '(x0) = | lim | 2(x - x0) | = | lim | (2) = 2 |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 |
- f(x) = x3
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Wir bestimmen die Ableitung an einer belieben Stelle x0 mit Hilfe des Differentialquotienten.
Genau wie im Beispiel, gilt vor Anwendung des Limes x ≠ x0. Darum können wir eine Polynomdivision durchführen
und erhalten (x3 - x03) : (x - x0) = x2 + x⋅x0 + x02 .
Dieses Ergebnis setzen wir ein.
Die Ableitungsfunktion von f(x) = x3 lautet also f '(x) =3x2 .
| f '(x0) = | lim | f(x) - f(x0) | = | lim | x3 - x03 |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 | x - x0 |
und erhalten (x3 - x03) : (x - x0) = x2 + x⋅x0 + x02 .
Dieses Ergebnis setzen wir ein.
| f '(x0) = | lim | ( x2 + x⋅x0 + x02) = x02 + x02 + x02 = 3x02 |
| x→x0 |