Analysis
1. Differentialrechnung
1.1. Grundlagen
1.1.3. Differenzierbarkeit
Die Ableitung einer Funktion f kann nur berechnet werden, falls der Differentialquotient
| lim | f(x) - f(x0) |
| x→x0 | x - x0 |
an der Stelle x0 existiert und eindeutig ist. Dann bezeichnet man f an der Stelle x0 als differenzierbar.
Beispiel
Die Betragsfunktion f(x) = |x| gibt für jedes x ∈ IR den jeweiligen positiven Wert zurück. Es soll untersucht werden, ob die Betragsfunktion an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist.
Die eigentliche Definition der Betragsfunktion lautet
| f(x) = |x| = | / x für x ≥ 0 |
| \ -x für x < 0 |
So ist beispielweise | -1| = -(-1) = 1 und | 7| = 7. Die jeweiligen Funktionsvorschriften müssen bei der Untersuchung auf Differenzierbarkeit einzeln betrachtet werden, da diese gerade an der gleichen Stelle x0 = 0 aufeinandertreffen.
| x > 0 : | lim | f(x) - f(0) | = | lim | x - 0 | = 1 |
| x→0 | x - 0 | x→0 | x - 0 |
| x < 0 : | lim | f(x) - f(0) | = | lim | -x - 0 | = -1 |
| x→0 | x - 0 | x→0 | x - 0 |
Da sich hier unterschiedliche Ergebnisse ergeben, ist die Betragsfunktion an der Stelle x0 nicht differenzierbar.
1.1.4. Ableitungsfunktion
Im vorherigen Abschnitt wurde am Beispiel die Ableitung einer Funktion an einer einzigen Stelle x0 berechnet. Die Berechnung kann man selbstverständlich auch für beliebig viele Stellen x0 wiederholen. Damit wird aber einem x-Wert eindeutig der Wert der Ableitung zugeordnet, was wiederum eine Funktion ergibt. Diese bezeichnet man als Ableitungsfunktion.
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f(x) = x2. Es soll die Ableitungsfunktion berechnet werden.
Das Vorgehen entspricht dem aus dem vorangegangenen Abschnitt, nur wird jetzt das x0 in der Formel belassen.
| f '(x0) = | lim | f(x) - f(x0) | = | lim | x2 - x02 |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 | x - x0 |
Vor Anwendung des Limes gilt x ≠ x0, daher kann man hier nach Anwendung der 3. Binomischen Formel kürzen.
| f '(x0) = | lim | (x + x0)(x - x0) | = | lim | (x + x0) = x0 + x0 = 2x0 |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 |
Am Ende wird noch x0 in x umbenannt. Damit lautet das Endergebnis f '(x) = 2x.
Übungen
Man berechne die folgenden Ableitungsfunktionen:
- f(x) = 2x - 1
- f(x) = x3