Analysis

1. Differentialrechnung

1.2. Ableitungsregeln

1.2.1. Potenzregel

Bis jetzt haben wir bereits gelernt, wie man die Differenzierbarkeit einer Funktion nachweist und deren Ableitungsfunktion mit Hilfe des Differentialquotienten bestimmt. Letzteres ist jedoch bereits für einfache Funktionen relativ aufwendig.

Glücklicherweise existieren eine Reihe von Regeln, die man anwenden kann um die Berechnungen deutlich zu vereinfachen. Dadurch gehört auch die zur Ableitung von Potenzfunktionen verwendete Potenzregel:

f(x) = xr ⇒ f '(x) = r ⋅ xr - 1  mit  r ∈ IR \ {0}

Die oben genannte Formel gilt nur für r ≠ 0. Für r = 0 handelt es sich um eine konstante Funktion, da x⁰ = 1 ist und die Funktion somit nicht mehr von x abhängt. Wie man allgemein Ableitungen von konstanten Funktionen bestimmt, wird im nachfolgenden Abschnitt erklärt.

Beweis

Für Interessierte wird nun die Herleitung der Potenzregel für n ∈ IN dargestellt. Alle anderen können diesen Teil überspringen und mit dem Beispiel und den Übungsaufgaben weitermachen.

Als Ansatz wird der Differentialquotient für die Funktion f(x) = xⁿ; n ∈ IN gebildet:

f '(x0) =	lim	xn - x0n
	x→x0	x - x0

Das Ziel ist es nun wieder den Bruch aufzulösen, wobei vor Anwendung des Limes wie gehabt x ≠ x₀ gilt. Darum führen wir eine Polynomdivision durch, d.h. wir berechnen (xⁿ - x₀ⁿ) : (x - x₀) . Im 1. Schritt ergibt sich dann:

(xn - x0n) : (x - x0) = xn - 1 + (xn - 1 x0 - x0n) : (x - x0)

Nach einem weiteren Rechenschritt sieht das Ergebnis, dann so aus:

(xn - x0n) : (x - x0) = xn - 1 + xn - 2 x0 + (xn - 2 x02 - x0n) : (x - x0)

Wenn man die Berechnungen bis zum Ende durchführen würde, fällt schließlich auch der Restterm weg:

(xn - x0n) : (x - x0)	= xn - 1 + xn - 2 x0 + ... + x⋅x0n - 2 + x0n - 1 + (x0 n - x0n) : (x - x0)
	= xn - 1 + xn - 2 x0 + ... + x⋅x0n - 2 + x0n - 1

Die Richtigkeit dieses Ergebnisses kann man zeigen, indem man (x - x₀) ⋅ (x^{n - 1} + x^{n - 2} x₀ + ... + x⋅x₀^{n - 2} + x₀) ausmultipliziert. Somit erhält man (xⁿ + x^{n - 1} x₀ + ... + x² x₀^{n - 2} + x ⋅ x₀^{n - 1}) - (x^{n - 1} x₀ + x^{n - 2} x₀² + ... + x ⋅ x₀^{n - 1} + x₀ⁿ). Die meisten Terme fallen dann durch die Subtraktion weg und es bleibt nur noch xⁿ - x₀ⁿ übrig, womit das Ergebnis bestätigt ist.

Nun ist der schwierigste Teil bereits geschafft. Wir führen die Berechnung des Differentialquotienten weiter, indem wir das bisherige Ergebnis verwenden:

f '(x0) =	lim	xn - x0n	=	lim	(xn - 1 + xn - 2 x0 + ... + x⋅x0n - 2 + x0 n - 1 )
	x→x0	x - x0		x→x0
			=		(x0n - 1 + x0n - 2 x0 + ... + x0⋅x0n - 2 + x0 n - 1 )
			=		(x0n - 1 + x0n - 1 + ... + x0n - 1 + x0 n - 1 )
			=		n ⋅ x0n - 1

Am Ende wird wieder x₀ in x umbenannt und man erhält die Ableitungsfunktion f '(x) = n ⋅ x^{n - 1}, damit ist der Beweis abgeschlossen.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = x⁴. Es soll die Ableitungsfunktion berechnet werden.

f(x) = x4 ⇒ f '(x) = 4x3

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
   1. f(x) = x⁵
   2. f(x) = x^-1
   3. f(x) = x^1/2

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.2. Konstantenregel

Jede Funktion in der Form f(x) = k mit k ∈ IR bezeichnet man als konstante Funktion, da deren Funktionswert nicht von x abhängt und sich somit nicht verändert. Für deren Ableitung gilt dann folgende Regel:

f(x) = k ⇒ f '(x) = 0

Die Ableitungsfunktion nimmt dann also immer den Wert 0 an. Dies kann man sich auch graphisch vorstellen. Zur Erinnerung, die Ableitung ist der Anstieg einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Da die konstante Funktion parallel zur x-Achse verläuft, ist deren Steigung und dementsprechend auch die Ableitung immer gleich 0.

Beispiel

Es soll die Ableitung von f(x) = 11 bestimmt werden.

f(x) = 11 ⇒ f '(x) = 0

Übungen

1. Man berechne die Ableitung von f(x) = -1
2. Man beweise die Konstantenregel mit Hilfe des Differentialquotienten.

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.3. Faktorregel

Ein konstanter Faktor k bleibt nach Ableitung als Vorfaktor erhalten. Die Ableitung einer Funktion f(x) = k ⋅ g(x) mit k ∈ IR und einer Funktion g(x) lautet also:

f '(x)= (k ⋅ g(x)) ' = k ⋅ g '(x)

Beispiel

Gesucht sei die Ableitung von f(x) = 3x².

Die Funktion f(x) besteht aus einer Funktion g(x) = x² und einem konstanten Faktor k = 3, also kann man die oben genannte Formel anwenden. g '(x) berechnet man einfach mit der aus dem vorherigen Abschnitt bereits bekannten Exponentenregel.

f '(x)= (3 ⋅ x2) ' = 3 ⋅ 2x = 6x

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
   1. f(x) = 5x²
   2. f(x) = 8x

1. Man beweise die Faktorregel mit Hilfe des Differentialquotienten.

Übungsaufgaben und Lösungen