Analysis
1. Differentialrechnung
1.3. Anwendungen
1.3.3. Extremwertaufgaben
In der angewandten Mathematik befasst sich das Thema Optimierung damit die bestmögliche Nutzung der vorhandenen Möglichkeiten für das Erreichen bestimmter Ziele zu ermitteln. Zumindest bestimmte Arten von Optimierungsaufgaben lassen sich als Extremwertaufgaben(auch Extremalprobleme genannt) formulieren und auf diese Weise lösen. Dabei kommen die Methoden aus Abschnitt 1.3.1. zur Bestimmung von Extremwerten zum Einsatz.
Dazu wird zunächst die Zielfunktion aufgestellt. Diese liefert den Zusammenhang zwischen den Variablen und der Größe für die ein Maximum oder Minimum ermittelt werden soll. Zum Beispiel könnten die Variablen jeweils für die hergestellten Stückzahlen einer bestimmten Produkts stehen und der Wert der Zielfunktion könnte die Höhe des erwarteten Gewinns angeben.
Bei praktischen Anwendungen treten zudem häufig Nebenbedingungen auf, diese Vorgaben müssen für eine zulässige Lösung eingehalten werden. Eine mögliche Nebenbedingung wäre zum Beispiel, dass ein Unternehmen nur eine begrenzte Stückzahl eines Produkts verkaufen kann. Ebenso ist wichtig den Definitionsbereich der Variablen zu beachten, so können von einem Produkt zum Beispiel keine negativen Stückzahlen hergestellt werden.
Beispiel
Gegeben sei der in Abbildung 1.10. dargestellte Querschnitt eines trapezförmigen und nach oben offenen Regenwasserkanals. Der Boden des Kanals wird aus jeweils 1 m breiten Platten gebildet. Der Winkel zwischen den Platten wird mit α bezeichnet. Je größer der Flächeninhalt des Querschnitts ist, desto mehr Wasser kann der Kanal aufnehmen.
Wie muss der Winkel α gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Querschnitts A maximal wird ?
Zunächst wird die Zielfunktion(ZF) zur Berechnung des Flächeninhalts aufgestellt. Die Fläche wird aus den beiden Dreiecken und dem Rechteck in der Mitte gebildet.
| ZF: A(a, b, h) = 2 ⋅ ( | 1 | ⋅ b ⋅ h) + a ⋅ h = b ⋅ h + a ⋅ h |
| 2 |
Die Nebenbedingungen(NB) lauten:
| NB: a = 1, b > 0, h > 0 |
Im Moment hängt die Zielfunktion noch von 3 Variablen ab, doch dies wird sich gleich ändern. Zunächst setzen wir die Nebenbedingung a = 1 ein und erhalten:
| ZF: A(b, h) = b ⋅ h + h |
Außerdem können aus den rechtwinkeligen Dreiecken und mit a = 1 die folgenden Beziehungen hergeleitet werden:
| sin(α) = | b | ⇔ | b = sin(α) |
| a | |||
| cos(α) = | h | ⇔ | h = cos(α) |
| a |
Durch Einsetzen erhalten wir eine Zielfunktion, die nur noch vom Winkel α abhängt:
| ZF: A(α) = sin(α) ⋅ cos(α) + cos(α) |
Nun bilden wir die 1. Ableitung der Funktion und vereinfachen diese anschließend mit sin2(α) + cos2(α) = 1 ⇔ cos2(α) = 1 - sin2(α) .
| ZF': A'(α) = | cos(α) ⋅ cos(α) - sin(α) ⋅ sin(α) - sin(α) |
| ZF': A'(α) = | 1 - 2 ⋅ sin2(α) - sin(α) |
Um die Nullstellen einfacher bestimmen zu können, setzen wir wieder b = sin(α).
| A'(b) = 0 ⇒ | 1 - 2b2 - b | = 0 |
| b2 + 0,5b - 0,5 | = 0 |
Nun wird die P-Q-Formel angewendet.
| b1,2 = | -0,25 ± √0,0625 + 0,5 |
| b1,2 = | -0,25 ± 0,75 |
Da b > 0 gelten muss, ist b = 0,5 die einzige Lösung. Nun bilden wir die 2. Ableitung um zu prüfen ob ein Maximum vorliegt.
| A''(b) | = | - 4b - 1 | |
| A''(0,5) | = | - 3 | < 0 ⇒ (lokales) Maximum |
Somit wird der Flächeninhalt für b = 0,5 maximiert. Aus sin(α) = b folgt der zugehörige Winkel α = 30° und durch Einsetzen in die Zielfunktion erhält man den maximalen Flächeninhalt von rund 1,299 m2.
Übungen
Ein Bauer möchte eine rechteckige Fläche vollständig umzäunen und hat dafür 400 m Zaun zur Verfügung. Wie ist die Länge a und die Breite b der Fläche zu wählen, damit der Flächeninhalt maximal wird ?