Analysis
1. Differentialrechnung
1.3. Anwendungen
1.3.1. Extremwerte
Eine von vielen Anwendungsmöglichkeiten der Differentialrechnung ist die Untersuchung einer Funktion auf Extremwerte. Nimmt eine Funktion an einer Stelle x0 im Vergleich zu deren unmittelbaren Umgebung den größten Wert an, so spricht man von einem lokalen Maximum. Dementsprechend wird es beim Auftreten des kleinsten Funktionswertes als lokales Minimum bezeichnet. Sofern es sich um den größten (bzw. kleinsten) Funktionswert auf dem gesamten Definitionsbereich handeln sollte, dann nennt man dieses globales Maximum (bzw. globales Minimum).
Extremwerte sind beispielsweise in Bereichen der Naturwissenschaft, der Technik und der Wirtschaftswissenschaft von Interesse.
Die Existenz von Maximum und Minimum wird durch nachfolgenden Satz beschrieben:
Satz von Maximum und Minimum
Jede auf einem abgeschlossenen Intervall [a;b] definierte stetige Funktion ist beschränkt und besitzt sowohl Maximum als auch Mininum.
D.h. es gibt Stellen x1 und x2 in [a;b] mit f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) für alle x ∈ [a;b] .
In Abb. 1.8. ist als Beispiel der Graph der Funktion f(x) = x2 dargestellt. Diese besitzt bei x0 = 0 ein lokales Minimum, welches hier gleichzeitig sogar ein globales Minimum ist. Sofern der Definitionsbereich mit x ∈ IR vorgegeben ist, besitzt diese Funktion keine Maxima. Anders sieht es jedoch aus, falls beispielsweise x ∈ [-1;1] gelten soll. Dann greift obenstehender Satz von Maximum und Minimum und für x = -1 und x = 1 ist jeweils ein globales Maximum vorhanden.
Diese Randstellen müssen gesondert auf Extrema untersucht werden, da diese nicht mit den Mitteln der Differentialrechnung bestimmt werden können. Innerhalb des Definitonsbereichs können wir jedoch mögliche Extremwerte daran erkennen, dass die Steigung an dieser Stelle gleich 0 ist. Wie in der Abbildung dargestellt ist, verläuft die zugehörige Tangente bei x0 = 0 dementsprechend waagerecht.
Diese Stellen können wir mit Hilfe der Differentialrechnung ermitteln, indem wir die 1. Ableitung gleich 0 setzen. Die notwendige Bedingung für die Existenz von Extremwerten lautet demnach:
| f '(x) = 0 |
Allerdings ist damit noch nicht sichergestellt, dass es sich tatsächlich um Extremwerte handelt. Es handelt sich vielmehr um mögliche "Kandidaten", darum muss man sich zusätzlich noch die Krümmung der Kurve ansehen.
Man kann sich hierzu ein kleines Auto vorstellen, dass entlang des Graphen in Abb. 1.8. in Richtung von den negativen zu den positiven x-Werten unterwegs ist. Hierbei muss in diesem Beispiel immer nach links gelenkt werden.
Der Graph hat somit eine Linkskrümmung und ist dementsprechend konvex, d.h. nach oben geöffnet. Dagegen nennt man einen Graphen mit einer Rechtskrümmung konkav(nach unten geöffnet) . Zusammen mit der notwendigen Bedingung liegt dann ein (lokales) Minium bzw. (lokales) Maximum vor.
Die Krümmung einer Kurve ist durch die 2. Ableitung gegeben. Die hinreichende Bedingung für Extremwerte lautet demnach:
| f ''(x) > 0 ⇒ (lokales) Minimum |
| f ''(x) < 0 ⇒ (lokales) Maximum |
Die bisherigen Definitionen reichen für die meisten Fälle aus. Doch was passiert, wenn f ''(x) = 0 ist ? Dann kann man eventuell vorhandene Extremwerte identifizieren, indem man die höheren Ableitungen untersucht. Sofern alle 1., 2., ... ,(n - 1). Ableitungen (n ∈ IN) gemeinsame Nullstellen haben und die n. Ableitung an diesen Stellen ungleich 0 und n eine gerade Zahl ist, dann liegen Extremwerte vor.
Für die Benennung um welche Ableitung es sich handelt, wird auch der Begriff der Ordnung verwendet. D.h. die 1. Ableitung wird mit Ableitung 1. Ordnung, die 2. Ableitung mit Ableitung 2. Ordnung, usw. bezeichnet. Wenn sich bei der Ordnung um eine gerade Zahl handelt, so spricht man einfach von einer Ableitung gerader Ordnung.
Fassen wir die endgültige Definition noch einmal zusammen:
Notwendige Bedingung
| f '(x) = f ''(x) = ... = f (n - 1)(x) = 0 |
Hinreichende Bedingung
| f (n)(x) > 0 und n gerade(Ableitung gerader Ordnung) ⇒ lokales Minimum |
| f (n)(x) < 0 und n gerade(Ableitung gerader Ordnung) ⇒ lokales Maximum |
Beispiel
Die Funktion f(x) = x4 soll auf Extremwerte untersucht werden.
Zunächst bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Extremwerte gleich 0.
| f '(x) | = | 4x3 | |
| f '(x0) | = | 4x03 | = 0 ⇒ x0 = 0 |
Als Ergebnis erhalten wir x0 = 0 als einzige Nullstelle . Nun wird die 2. Ableitung gebildet und die Nullstelle eingesetzt.
| f ''(x) | = | 12x2 |
| f ''(0) | = | 0 |
Die 2. Ableitung an der Stelle x0 = 0 ist ebenfalls gleich 0. Daher muss man weitere Ableitungen bilden, bis man nach dem Einsetzen einen von 0 verschiedenen Wert erhält.
| f '''(x) | = | 24x | ⇒ | f '''(0) | = | 0 | |
| f (4)(x) | = | 24 | ⇒ | f (4)(0) | = | 24 | > 0 |
Die hinreichende Bedingung für Extremwerte ist erfüllt, da der Wert von 0 verschieden ist und es sich bei der 4. Ableitung um eine Ableitung gerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 4. Ableitung für f (4)(0) = 24 größer als 0, daher liegt ein lokales Mininmum vor.
Übungen
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Es sollen folgende Funktionen auf Extremwerte untersucht werden:
- f(x) = x2 - 14x
- f(x) = x4 - 2x2
- f(x) = sin(x)