Analysis
1. Differentialrechnung
1.3. Anwendungen
1.3.2. Wendepunkte
Weitere besondere Merkmale einer Funktion sind die sogenannten Wendepunkte, an denen der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten verändert. Eine Funktion mit einer Linkskrümmung bezeichnet man auch als konvex, d.h. nach oben geöffnet. Wohingegen eine Funktion mit einer Rechtskrümmung als konkav bezeichnet wird, d.h. nach unten geöffnet. An einem Wendepunkt wechselt der Graph der Funktion von einer Rechts- zu einer Linkskrümmung (konkav zu konvex) oder umgekehrt.
Darüber hinaus gibt es Wendepunkte, die keine eigene Steigung besitzen und als Sattelpunkte bezeichnet werden.
Die Wendepunkte einer Funktion kann man ebenfalls mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen.
In Abb. 1.9. ist als Beispiel der Graph der Funktion f(x) = x3 dargestellt.
Um das Krümmungsverhalten der Funktion zu veranschaulichen, können wir uns wieder ein kleines Auto vorstellen, das entlang des Graphen in Abb. 1.9. in Richtung von den negativen zu den positiven x-Werten unterwegs ist. Zunächst muss eine Rechtskurve gefahren werden, augenscheinlich bei x0 = 0 ist das Lenkrad in der Nullstellung und anschließend wird eine Linkskurve gefahren.
Das Krümmungsverhalten dieser Funktion wechselt also von rechts(konkav) nach links(konvex) und sie besitzt demzufolge einen Wendepunkt, der offenbar bei x0 = 0 liegt.
Ausgedrückt mit den Mitteln der Differentialrechnung ist das Krümmungsverhalten einer Funktion durch deren 2. Ableitung gegeben. Wir suchen diejenigen Stellen, an denen der Graph weder streng konkav noch streng konvex ist, also die 2. Ableitung gleich 0 ist. Die notwendige Bedingung für die Existenz von Wendepunkten lautet demnach:
| f ''(x) = 0 |
Erneut ist damit noch nicht sichergestellt, dass es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt. Es handelt sich vielmehr um mögliche "Kandidaten". Deshalb muss man zusätzlich noch die 3. Ableitung prüfen, diese gibt die Änderung des Krümmungsverhaltens an. Daraus ergibt sich folgende hinreichende Bedinungung für Wendepunkte:
| f '''(x) > 0 ⇒ Rechts-Links(konkav-konvex) Wendepunkt |
| f '''(x) < 0 ⇒ Links-Rechts(konvex-konkav) Wendepunkt |
Diese Definitionen sind für die meisten Fälle ausreichend. Allerdings stellt sich wiederum die Frage, was für f '''(x) = 0 passiert. Dann kann man die Wendepunkte eindeutig identifizieren, indem man die höhreren Ableitungen untersucht. Sofern alle 2., 3., ... ,(n - 1). Ableitungen (n ∈ IN) gemeinsame Nullstellen haben und die n. Ableitung an diesen Stellen ungleich 0 und n eine ungerade Zahl ist, dann liegen Wendepunkte vor.
Für die Benennung um welche Ableitung es sich handelt, wird auch der Begriff der Ordnung verwendet. D.h. die 1. Ableitung wird mit Ableitung 1. Ordnung, die 2. Ableitung mit Ableitung 2. Ordnung, usw. bezeichnet. Wenn sich bei der Ordnung um eine ungerade Zahl handelt, so spricht man einfach von einer Ableitung ungerader Ordnung.
Fassen wir die endgültige Definition noch einmal zusammen:
Notwendige Bedingung
| f ''(x) = f '''(x) = ... = f (n - 1)(x) = 0 |
Hinreichende Bedingung
| f (n)(x) > 0 und n ungerade(Ableitung ungerader Ordnung) ⇒ Rechts-Links(konkav-konvex) Wendepunkt |
| f (n)(x) < 0 und n ungerade(Ableitung ungerader Ordnung) ⇒ Links-Rechts(konvex-konkav) Wendepunkt |
Sofern darüber hinaus f '(x) = 0 gelten sollte, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Beispiel
Die Funktion f(x) = (x - 2)5 soll auf Wendepunkte untersucht werden.
Zunächst bilden wir die 2. Ableitung mit Hilfe der Kettenregel und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Wendepunkte gleich 0.
| f '(x) | = | 5(x - 2)4 | |
| f ''(x) | = | 20(x - 2)3 | |
| f ''(x0) | = | 20(x0 - 2)3 | = 0 ⇒ x0 = 2 |
Als Ergebnis erhalten wir x0 = 2 als einzige Nullstelle . Nun wird die 3. Ableitung gebildet und die Nullstelle eingesetzt.
| f '''(x) | = | 60(x - 2)2 |
| f '''(2) | = | 0 |
Die 3. Ableitung an der Stelle x0 = 2 ist ebenfalls gleich 0. Daher muss man weitere Ableitungen bilden, bis man nach dem Einsetzen einen von 0 verschiedenen Wert erhält.
| f (4)(x) | = | 120(x - 2) | ⇒ | f (4)(2) | = | 0 | |
| f (5)(x) | = | 120 | ⇒ | f (5)(2) | = | 120 | > 0 |
Die hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist erfüllt, da der Wert von 0 verschieden ist und es sich bei der 5. Ableitung um eine Ableitung ungerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 5. Ableitung für f (5)(2) = 120 größer als 0, daher befindet sich an dieser Stelle ein Rechts-Links(konkav-konvex) Wendepunkt. Es handelt sich sogar um einen Sattelpunkt, da zusätzlich f '(2) = 0 gilt.
Übungen
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Es sollen folgende Funktionen auf Wendepunkte untersucht werden:
- f(x) = -x3 + 3x2
- f(x) = 1/27 ⋅ x2 - 1 / x2
- f(x) = sin(x)