Übungsaufgaben und Lösungen
Analysis
1. Differentialrechnung
1.3. Anwendungen
1.3.3. Extremwertaufgaben
Ein Bauer möchte eine rechteckige Fläche vollständig umzäunen und hat dafür 400 m Zaun zur Verfügung. Wie ist die Länge a und die Breite b der Fläche zu wählen, damit der Flächeninhalt maximal wird ?
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Zunächst wird die Zielfunktion(ZF) zur Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks aufgestellt.
Die Nebenbedingungen(NB) lauten:
Formt man die 1. Nebenbedingung nach b um, so erhält man b = 400 - a. Nun wird diese in die Zielfunktion eingesetzt:
Nun wird die 1. Ableitung der Zielfunktion gebildet und davon die Nullstellen bestimmt.
Demnach ist a = 200 die einzige Lösung. Nun bilden wir die 2. Ableitung um zu prüfen ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.
Somit wird der Flächeninhalt für a = 200 m maximiert. Aus der Nebenbedingung b = 400 - a folgt auch für b = 200 m. Durch Einsetzen in die Zielfunktion erhält man den maximalen Flächeninhalt von 10.000 m2.
Damit der Bauer eine größtmögliche Fläche umzäunen kann, sollten die Seitenlängen des Rechtecks jeweils 200 m betragen.
Es handelt sich also genauer gesagt um ein Quadrat.
| ZF: A(a, b) = a ⋅ b |
| NB: a + b = 400, a > 0, b > 0 |
| ZF: A(a) = | a ⋅ (400 - a) |
| ZF: A(a) = | 400a - a2 |
| ZF': | A'(a) | = | 400 - 2a |
| 0 | = | 400 - 2a | |
| a | = | 200 |
| A''(a) | = | -2 | ||
| A''(200) | = | -2 | < 0 ⇒ (lokales) Maximum |
Damit der Bauer eine größtmögliche Fläche umzäunen kann, sollten die Seitenlängen des Rechtecks jeweils 200 m betragen.
Es handelt sich also genauer gesagt um ein Quadrat.
1.3.4. Newton-Verfahren
-
Es soll eine Nullstelle der Funktion f(x) = x3 - 1,5x2 + 2x - 3 mit dem Newton-Verfahren näherungsweise bestimmt werden.
Die Iteration soll beendet werden, sobald sich die 2. Nachkommastelle nicht mehr ändert.
Die Zwischenergebnisse können auf 4 Nachkommastellen gerundet werden.
Als Startwert soll x0 = 1 verwendet werden.
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Zunächst benötigen wir die 1. Ableitung der Funktion, diese muss nur einmalig berechnet werden. Für die Berechnung der Ableitung wird auf die Methoden aus Kapitel 1.2. verwiesen.
Als Startwert ist x0 = 1 vorgegeben, daher brauchen wir noch die Formel anzuwenden:
Die Iteration wurde nun beendet, da sich die 2. Nachkommastelle nicht mehr verändert hat. Durch Einsetzen in die Funktion stellt man fest, dass x4 = 1,5 sogar der exakte Wert der Nullstelle ist.
| f '(x) = 3x2 - 3x + 2 |
| x1 = x0 - | f(x0) | = | 1 - | -1,5 | = | 1,75 |
| f '(x0) | 2 | |||||
| x2 = x1 - | f(x1) | = | 1,75 - | 1,2656 | ≈ | 1,5368 |
| f '(x1) | 5,9375 | |||||
| x3 = x2 - | f(x2) | = | 1,5368 - | 0,1605 | ≈ | 1,5009 |
| f '(x2) | 4,4749 | |||||
| x4 = x3 - | f(x3) | = | 1,5009 - | 0,0038 | ≈ | 1,5000 |
| f '(x3) | 4,2554 |
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Um die Wurzel aus 2 näherungsweise zu berechnen, soll eine Nullstelle der Funktion f(x) = 2 - x2 mit dem Newton-Verfahren
näherungsweise bestimmt werden.
Die Iteration soll beendet werden, sobald sich die 2. Nachkommastelle nicht mehr ändert.
Die Zwischenergebnisse können auf 4 Nachkommastellen gerundet werden.
Als Startwert soll x0 = 2 verwendet werden.
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Zunächst benötigen wir die 1. Ableitung der Funktion, diese muss nur einmalig berechnet werden. Für die Berechnung der Ableitung wird auf die Methoden aus Kapitel 1.2. verwiesen.
Als Startwert ist x0 = 2 vorgegeben, daher brauchen wir noch die Formel anzuwenden:
Die Iteration wurde nun beendet, da sich die 2. Nachkommastelle nicht mehr verändert hat. Durch Einsetzen in die Funktion stellt man fest, dass x3 = 1,4142 schon eine sehr gute Näherung für die Wurzel aus 2 ist.
| f '(x) = -2x |
| x1 = x0 - | f(x0) | = | 2 - | -2 | = | 1,50 |
| f '(x0) | -4 | |||||
| x2 = x1 - | f(x1) | = | 1,5 - | -0,25 | ≈ | 1,4167 |
| f '(x1) | -3 | |||||
| x3 = x2 - | f(x2) | = | 1,4167 - | -0,0070 | ≈ | 1,4142 |
| f '(x2) | -2,8334 |