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Sinuswellen - Grundlagen der Mathematik
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Übungsaufgaben und Lösungen


Analysis

1. Differentialrechnung

1.3. Anwendungen

1.3.1. Extremwerte

  1. Es sollen folgende Funktionen auf Extremwerte untersucht werden:
  1. f(x) = x2 - 14x
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Zunächst bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Extremwerte gleich 0.
f '(x)   =  2x - 14  
f '(x0)  =   2x0 - 14  = 0   ⇒   x0 = 7
Als Ergebnis erhalten wir x0 = 7 als einzige Nullstelle . Nun wird die 2. Ableitung gebildet und die Nullstelle eingesetzt.
f ''(x)  =  2
f ''(7)  =  2
Die hinreichende Bedingung für Extremwerte ist erfüllt, da der Wert von 0 verschieden ist und es sich bei der 2. Ableitung um eine Ableitung gerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 2. Ableitung für f ''(7) = 2 größer als 0, daher liegt ein lokales Mininmum vor.
  1. f(x) = x4 - 2x2
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Zunächst bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Extremwerte gleich 0.
f '(x)   =  4x3 - 4x  
f '(x0)  =   4x03 - 4x0  = 0   ⇒     x0 (x02 - 1) = 0   ⇒   x0 = -1, x0 = 0, x0 = 1
Als Ergebnis erhalten wir 3 Nullstellen für die Werte von x0 bei -1, 0 und 1 . Nun wird die 2. Ableitung gebildet und die Nullstellen eingesetzt.
f ''(x)  =  12x2 - 4
f ''(-1)  =  8 > 0
f ''(0)  =  -4 < 0
f ''(1)  =  8 > 0
Die hinreichende Bedingung für Extremwerte ist jeweils erfüllt, da die Werte jeweils von 0 verschieden sind und es sich bei der 2. Ableitung um eine Ableitung gerader Ordnung handelt. Darüber hinaus sind die Funktionswerte der 2. Ableitung für f ''(-1) = f ''(1) = 8 größer als 0, daher liegt jeweils ein lokales Mininmum vor. Für f ''(0) = -4 ist der Wert der 2. Ableitung kleiner als 0 und es liegt an der Stelle ein lokales Maximum vor.
  1. f(x) = sin(x) für x ∈ [0;2π]
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Zunächst bilden wir die 1. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Extremwerte gleich 0.
f '(x)   =  cos(x)  
f '(x0)  =  cos(x)  = 0   ⇒   x0 = 0,5π , x0 = 1,5π
Für die 1. Ableitung ergibt sich die Kosinusfunktion, diese besitzt Nullstellen bei x0 = 0,5π und x0 = 1,5π . Nun wird die 2. Ableitung gebildet und anschließend werden die Nullstellen eingesetzt.
f ''(x)  =  -sin(x)
f ''(0,5π)  =  -1 < 0
f ''(1,5π)  =  1 > 0
Die hinreichende Bedingung für Extremwerte ist jeweils erfüllt, da die Werte jeweils von 0 verschieden sind und es sich bei der 2. Ableitung um eine Ableitung gerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 2. Ableitung für f ''(0,5π) = -1 kleiner als 0, daher liegt ein lokales Maximum vor. Für f ''(1,5π) = 1 ist der Wert der 2. Ableitung größer als 0 und es liegt an der Stelle ein lokales Minimum vor.

1.3.2. Wendepunkte

  1. Es sollen folgende Funktionen auf Wendepunkte untersucht werden:
  1. f(x) = -x3 + 3x2
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Zunächst bilden wir die 2. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Wendepunkte gleich 0.
f '(x)   = -3x2 + 6x  
f ''(x)   = -6x + 6  
f ''(x0)  = -6x0 + 6  = 0   ⇒   x0 = 1
Als Ergebnis erhalten wir x0 = 1 als einzige Nullstelle . Nun wird die 3. Ableitung gebildet und die Nullstelle eingesetzt.
f '''(x)  =  -6
f '''(1)  =  -6 < 0
Die hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist erfüllt, da der Wert von 0 verschieden ist und es sich bei der 3. Ableitung um eine Ableitung ungerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 3. Ableitung für f '''(1) = -6 kleiner als 0, daher befindet sich an dieser Stelle ein Links-Rechts (konvex-konkav) Wendepunkt. Es liegt jedoch kein Sattelpunkt vor, da f '(-6) = -144 ≠ 0 ist.
  1. f(x) = 1/27 ⋅ x2 - 1 / x2
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Zunächst bilden wir die 2. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Wendepunkte gleich 0.
f '(x)   =  2/27x + 2 / x3  
f ''(x)   =  2/27 - 6 / x4  
f ''(x0)  =  2/27 - 6 / x04  = 0   ⇒   x0 = -3, x0 = 3
Als Ergebnis erhalten wir x0 = -3 und x0 = 3 als Nullstellen. Nun wird die 3. Ableitung gebildet und die Nullstellen eingesetzt.
f '''(x)  =  24 / x5
f '''(-3)  =  -8/81 < 0
f '''(3)  =   8/81 > 0
Die hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist jeweils erfüllt, da die Werte jeweils von 0 verschieden sind und es sich bei der 3. Ableitung um eine Ableitung ungerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 3. Ableitung für f '''(-3) = -8/81 kleiner als 0, daher befindet sich an dieser Stelle ein Links-Rechts (konvex-konkav) Wendepunkt. Für f '''(3) = 8/81 ist der Wert der 3. Ableitung größer als 0 und es liegt an der Stelle ein Rechts-Links (konkav-konvex) Wendepunkt vor. Es liegt jedoch in beiden Fällen kein Sattelpunkt vor, da f '(-3) = -8/27 ≠ 0 und f '(3) = 8/27 ≠ 0 ist.
  1. f(x) = sin(x) für x ∈ [0;2π]
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Zunächst bilden wir die 2. Ableitung und setzen diese nach der notwendigen Bedingung für Wendepunkte gleich 0.
f '(x)   = cos(x)  
f ''(x)   = -sin(x)  
f ''(x0)  = -sin(x0)  = 0   ⇒   x0 = 0, x0 = π, x0 = 2π
Als Ergebnis erhalten wir x0 = 0 und x0 = π als Nullstellen. Da sich die Funktion sin(x) periodisch wiederholt, ist x0 = 2π identisch mit x0 = 0 und wird daher weggelassen. Nun wird die 3. Ableitung gebildet und die Nullstellen eingesetzt.
f '''(x)  =  -cos(x)
f '''(0)  =  -1 < 0
f '''(π)  =  1 > 0
Die hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist jeweils erfüllt, da die Werte jeweils von 0 verschieden sind und es sich bei der 3. Ableitung um eine Ableitung ungerader Ordnung handelt. Darüber hinaus ist der Funktionswert der 3. Ableitung für f '''(0) = -1 kleiner als 0, daher befindet sich an dieser Stelle ein Links-Rechts (konvex-konkav) Wendepunkt. Für f '''(π) = 1 ist der Wert der 3. Ableitung größer als 0 und es liegt an der Stelle ein Rechts-Links (konkav-konvex) Wendepunkt vor. Es liegt jedoch in beiden Fällen kein Sattelpunkt vor, da f '(0) = 1 ≠ 0 und f '(π) = -1 ≠ 0 ist.
Alle Angaben ohne Gewähr