Übungsaufgaben und Lösungen
Analysis
1. Differentialrechnung
1.2. Ableitungsregeln
1.2.1. Potenzregel
- Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
- f(x) = x5
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Es gilt die Potenzregel f(x) = xr ⇒ f '(x) = r ⋅ xr - 1 mit r ∈ IR \ {0}:
| f(x) = x5 ⇒ f '(x) = 5x4 |
- f(x) = x-1
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Es gilt die Potenzregel f(x) = xr ⇒ f '(x) = r ⋅ xr - 1 mit r ∈ IR \ {0}:
| f(x) = x-1 ⇒ f '(x) = -x-2 = | 1 | ||
| x2 |
- f(x) = x1/2
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Es gilt die Potenzregel f(x) = xr ⇒ f '(x) = r ⋅ xr - 1 mit r ∈ IR \ {0}:
| f(x) = x1/2 ⇒ f '(x) = | 1 | x-1/2 = | 1 |
| 2 | 2√x |
1.2.2. Konstantenregel
- Man berechne die Ableitung von f(x) = -1
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Es gilt die Konstantenregel f(x) = k ⇒ f '(x) = 0 mit k ∈ IR :
| f(x) = -1 ⇒ f '(x) = 0 |
- Man beweise die Konstantenregel mit Hilfe des Differentialquotienten.
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Wir bestimmen die Ableitung der Funktion f(x) = k an einer belieben Stelle x0 mit Hilfe des Differentialquotienten.
Vor Anwendung des Limes gilt x ≠ x0, somit erhalten wir als Ergebnis:
Damit ist die Konstantenregel f(x) = k ⇒ f '(x) = 0 mit k ∈ IR bewiesen.
| f '(x0) = | lim | f(x) - f(x0) | = | lim | k - k |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 | x - x0 |
| f '(x0) = | lim | 0 | = | lim | (0) = 0 |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 |
1.2.3. Faktorregel
- Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
- f(x) = 5x2
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Es gilt die Faktorregel f(x) = k ⋅ g(x) ⇒ f '(x) = k ⋅ g '(x) ,
die Ableitung von g(x) = x2 kann mit der Exponentenregel berechnet werden:
die Ableitung von g(x) = x2 kann mit der Exponentenregel berechnet werden:
| f(x) = 5 ⋅ x2 ⇒ f '(x) = 5 ⋅ 2x = 10x |
- f(x) = 8x
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Es gilt die Faktorregel f(x) = k ⋅ g(x) ⇒ f '(x) = k ⋅ g '(x) ,
die Ableitung von g(x) = x kann mit der Exponentenregel berechnet werden:
die Ableitung von g(x) = x kann mit der Exponentenregel berechnet werden:
| f(x) = 8 ⋅ x ⇒ f '(x) = 8 ⋅ 1 = 8 |
- Man beweise die Faktorregel mit Hilfe des Differentialquotienten.
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Wir bestimmen die Ableitung der Funktion f(x) = k ⋅ g(x) an einer belieben Stelle x0 mit Hilfe des Differentialquotienten.
Die Konstante k hängt nicht vom Limes ab, daher kann sie vor den Ausdruck geschrieben werden.
Übrig bleibt dann noch der Differentialquotient von g(x0).
Damit ist die Faktorregel f(x) = k ⋅ g(x) ⇒ f '(x) = k ⋅ g '(x) mit k ∈ IR bewiesen.
| f '(x0) = | lim | f(x) - f(x0) | = | lim | k ⋅ g(x) - k ⋅ g(x0) |
| x→x0 | x - x0 | x→x0 | x - x0 |
Übrig bleibt dann noch der Differentialquotient von g(x0).
| f '(x0) = k ⋅ | ( | lim | g(x) - g(x0) | ) | = k ⋅ g '(x0) |
| x→x0 | x - x0 |