Analysis

1. Differentialrechnung

1.2. Ableitungsregeln

1.2.8. Kettenregel

Durch die Verkettung von Funktionen, werden diese hintereinander ausgeführt.

Beispielsweise wird eine Funktion f durch die Verkettung zweier Funktionen g und h gebildet. Dies wird durch den Ausdruck f(x) = g(h(x)) = (g o h)(x) (sprich: g "Kringel" h) dargestellt. Hierbei stellt h die innere Funktion dar und wird dementsprechend zuerst ausgeführt. Anschließend wird auf die Ergebniswerte die äußere Funktion g angewendet.

Sofern zwei Funktionen g und h differenzierbar sind, dann ist die Verkettung differenzierbar und es gilt für die Ableitung der resultierenden Funktion f:

f(x) = (g o h)(x) ⇒ f '(x) = (g o h)'(x) = g '(h(x)) ⋅ h '(x)

Merksatz: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Beweis

Für den Beweis der Kettenregel seien zwei differenzierbare Funktionen g und h gegeben. Weiterhin definiert man y₀ = h(x₀) und eine Hilfsfunktion r mit folgender Definition:

r(y) =	/	g(y) - g(y0)		für y ≠ y0
		y - y0
	\	g '(y0)		für y = y0

Da die Funktion g laut Voraussetzung differenzierbar ist und demzufolge auch in y₀, folgt daraus die Stetigkeit für die Hilfsfunktion r und es gilt:

lim	r(y) = g '(y0)
y → y0

Damit kann man aus der Defintion von r den folgenden Ausdruck gewinnen:

g(y) - g(y0) = r(y) ⋅ (y - y0)

Nun bilden wir den Differentialquotien und setzen diesen Ausdruck ein. Innerhalb des Limes steht dann die Hilfsfunktion r multipliziert mit den Differenzenquotienten von h.

f '(x0) =	lim	g(h(x)) - g(h(x0))	=	lim	g(y) - g(y0)
	x → x0	x - x0		x → x0	x - x0

f '(x0) =	lim	(	r(y) ⋅	y - y0	)	=  g '(y0) ⋅ h '(x0)
	x → x0			x - x0

Mit y₀ = h(x₀) und die Umbennung von x in x₀ ist die Kettenregel damit bewiesen.

f '(x0) = g '(h(x0)) ⋅ h '(x0)

f '(x) = g '(h(x)) ⋅ h '(x)

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = sin(x²). Es soll die Ableitungsfunktion bestimmt werden.

Zunächst muss man feststellen, wie die innere und die äußere Funktion lauten, indem man sich ansieht wie die Funktionswerte der verketteten Funktion berechnet werden.

In diesem Beispiel muss zunächst ein x-Wert quadriert und anschließend der Sinus angewendet werden. Daher lautet die innere Funktion h(x) = x², deren Ableitung lautet h '(x) = 2x. Die äußere Funktion ist g(x) = sin(x) und g '(x) = cos(x). Nun kann man die Kettenregel anwenden:

f '(x) = g '(h(x)) ⋅ h '(x) = cos(x2) ⋅ 2x

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen jeweils die Ableitungsfunktion mit Hilfe der Kettenregel:
   1. f(x) = cos(1 - x)
   2. f(x) = (1 - x)⁵
   3. f(x) = sin²(x)

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.9. Ableitung einer Umkehrfunktion

In manchen Fällen kann es sinnvoll sein die Ableitung einer Funktion über deren Umkehrfunktion zu bestimmen, u.a. wenn diese bereits bekannt oder leichter zu berechnen ist.

Dazu sei eine Funktion f mit y = f(x) und deren Umkehrfunktion f ^-1 mit x = f ^-1(y) definiert. Damit die Umkehrfunktion existiert muss f bijektiv sein. Wenn darüber hinaus ( f ^-1) '(y) ≠ 0 erfüllt ist, gilt die folgende Umkehrregel:

f '(x) =	1	=	1
	( f -1) '(y)		( f -1) '(f(x))

Beispiel

Es soll die Ableitung von f(x) = √x für x > 0 mit Hilfe der Umkehrregel bestimmt werden.

Zunächst wird die Umkehrfunktion x = y² = ( f ^-1) (y) gebildet. Nun bildet man deren Ableitung ( f ^-1) '(y) = 2y. Schließlich erhält man mit der Formel:

f '(x) =	1	=	1
	2y		2√x

Übungen

Es soll die Ableitung von f(x) = ln(x) für x > 0 mit Hilfe der Umkehrregel bestimmt werden.
Hinweis: f(x) = exp(x) => f '(x) = exp(x)

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.10. Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Exponentialfunktion exp(x) = e^x hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ergibt. Es gilt also:

f (x) = exp(x) ⇒ f '(x) = exp(x)   für x ∈ IR

Weiterhin gilt für die Logarithmusfunktion:

f (x) = ln(x) ⇒ f '(x) =	1	für x > 0
	x

Die allgemeine Exponentialfunktion f(x) = a^x kann man auch als f(x) = exp(x ⋅ ln(a)) schreiben. Somit ergibt sich mit der Kettenregel:

f(x) = ax ⇒ f '(x) = ax ⋅ ln(a)   für a > 0, x ∈ IR

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen jeweils die Ableitungsfunktion:
   1. f(x) = x ⋅ exp(x)
   2. f(x) = ln(x²) mit x ≠ 0

Übungsaufgaben und Lösungen