Analysis

1.1. Differentialrechnung

1.2. Ableitungsregeln

1.2.4. Summenregel

Gegeben seien die Funktionen f, g und h, die jeweils differenzierbar sein sollen. Weiterhin soll f die Summe der Funktionen g und h sein. Es soll also f(x) = g(x) + h(x) gelten.

Nun wollen wir die zugehörige Ableitungsfunktion f ' bestimmen. Dazu verwenden wir wieder den Differentialquotienten.

f '(x0) =	lim	(g(x) + h(x)) - (g(x0) + h(x0))
	x→x0	x - x0

f '(x0) =	lim	(	g(x) - g(x0)	+	h(x) - h(x0)	)
	x→x0		x - x0		x - x0

Aufgrund der Differenzierbarkeit der Funktionen g und h sind die Brüche jeweils konvergent. Es existiert also jeweils der Grenzwert für x→x₀ und man kann den Limes auf die Brüche aufteilen. Als Endergebnis erhält man dann die Ableitungen der einzelnen Funktionen.

f '(x0) =	lim	g(x) - g(x0)	+	lim	h(x) - h(x0)
	x→x0	x - x0		x→x0	x - x0

f '(x0) =  g '(x0) + h '(x0)

Zusammengefasst gilt also:

f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f '(x) = g '(x) + h '(x)

Diese Regel ist auf beliebig viele Summanden übertragbar.

Merksatz: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = x² + x.
Es soll die Ableitungsfunktion berechnet werden.

Mit Hilfe der Exponenten- und der Summenregel erhält man:

f(x) = x2 + x ⇒ f '(x) = 2x + 1

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
   1. f(x) = 5x - 1
   2. f(x) = x² + 5x + 2

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.5. Produktregel

Gegeben seien die Funktionen f, g und h, die jeweils differenzierbar sein sollen. Weiterhin soll f das Produkt aus den Funktionen g und h sein. Es soll also f(x) = g(x) ⋅ h(x) gelten.

Um die Ableitungsfunktion f ' zu bestimmen, wird erneut der Differentialquotient gebildet.

f '(x0) =	lim	g(x) ⋅ h(x) - g(x0) ⋅ h(x0)
	x→x0	x - x0

Als nächstes Schritt wird eine "nahrhafte Null" hinzuaddiert, nämlich g(x₀) ⋅ h(x) - g(x₀) ⋅ h(x). Da der Ausdruck insgesamt 0 ist, verändert man den Wert des Differentialquotienten nicht. Jedoch wird sich dies als ungemein hilfreich bei den weiteren Umformungen herausstellen.

f '(x0) =	lim	g(x) ⋅ h(x) - g(x0) ⋅ h(x0) + (g(x0) ⋅ h(x) - g(x0) ⋅ h(x))
	x→x0	x - x0

Der Zähler des Bruches wird nun etwas umsortiert.

f '(x0) =	lim	g(x) ⋅ h(x) - g(x0) ⋅ h(x) + g(x0) ⋅ h(x) - g(x0) ⋅ h(x0)
	x→x0	x - x0

f '(x0) =	lim	(	g(x) - g(x0)	⋅ h(x) + g(x0) ⋅	h(x) - h(x0)	)
	x→x0		x - x0		x - x0

Schließlich kann man den Limes wieder einzeln auf die Terme anwenden und erhält das Ergebnis.

f '(x0) =  g '(x0) ⋅ h (x0) + g (x0) ⋅ h '(x0)

Insgesamt gilt also:

f(x) = g(x) ⋅ h(x) ⇒ f '(x) = g '(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h '(x)

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = x⋅(x + 1) .
Es soll die Ableitungsfunktion berechnet werden.

f(x) = x⋅(x + 1) ⇒ f '(x) = 1 ⋅ (x + 1) + x ⋅ 1 = 2x + 1

In diesem Fall hätte man auch zuerst die Klammer ausmultiplizieren und anschließend differenzieren können. Unerlässlich wird die Produktregel dagegen, wenn z.B. einer der Faktoren eine trigonometrische Funktion (z.B. Sinus) ist. Doch dazu später mehr.

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
   1. f(x) = (x³ + 2x + 1) ⋅ (1 - x)
   2. f(x) = (x + 1) ⋅ (x - 1)

Übungsaufgaben und Lösungen

1.2.6. Quotientenregel

Gegeben seien die Funktionen f, g und h, die jeweils differenzierbar sein sollen. Weiterhin soll f der Quotient aus den Funktionen g und h sein. Es soll also f(x) = g(x) / h(x) mit h(x) ≠ 0 gelten.

Wie immer in solchen Fällen wird die Ableitungsfunktion f ' mit Hilfe des Differentialquotienten ermittelt.

			g(x)	-	g(x0)
f '(x0) =	lim		h(x)		h(x0)
	x→x0	x - x0

			g(x) ⋅ h(x0) - g(x0) ⋅ h(x)
f '(x0) =	lim		h(x) ⋅ h(x0)
	x→x0	x - x0

Wie im vorangenen Abschnitt verwenden wir wieder den Trick der "nahrhaften Null" an. Diesmal wird der Term g(x₀) ⋅ h(x₀) - g(x₀) ⋅ h(x₀) hinzuaddiert. Anschließend wird der Zähler umsortiert und gemeinsame Terme werden ausgeklammert.

			g(x) ⋅ h(x0) - g(x0) ⋅ h(x) + (g(x0) ⋅ h(x0) - g(x0) ⋅ h(x0))
f '(x0) =	lim		h(x) ⋅ h(x0)
	x→x0	x - x0

			(g(x) - g(x0)) ⋅ h(x0) - g(x0) ⋅ (h(x) - h(x0))
f '(x0) =	lim		h(x) ⋅ h(x0)
	x→x0	x - x0

Dieser Doppelbruch kann wie folgt geschrieben werden ohne etwas am Ergebnis zu ändern.

			(g(x) - g(x0)) ⋅ h(x0) - g(x0) ⋅ (h(x) - h(x0))
f '(x0) =	lim		x - x0
	x→x0	h(x) ⋅ h(x0)

			g(x) - g(x0)	⋅ h(x0) - g(x0) ⋅	h(x) - h(x0)
f '(x0) =	lim		x - x0		x - x0
	x→x0	h(x) ⋅ h(x0)

Wir können nun endlich den Limes anwenden.

f '(x0) =	g '(x0) ⋅ h(x0) - g(x0) ⋅ h '(x0)
	h(x0) ⋅ h(x0)

Somit ergibt sich das nachfolgende Ergebnis.

f (x) =	g(x)	⇒ f '(x) =	g '(x) ⋅ h(x) - g(x) ⋅ h '(x)
	h(x)		(h(x))2

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = (x - 1) / (x + 1) für x ∈ IR \ {-1}
Es soll die Ableitungsfunktion berechnet werden.

f (x) =	x - 1	⇒	f '(x) =	1 ⋅ (x + 1) - (x - 1) ⋅ 1
	x + 1			(x + 1)2
			f '(x) =	2
				(x + 1)2

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
   1. f(x) = x / (x² + 1)
   2. f(x) = (x² + x + 1) / (x - 1) für x ∈ IR \ {1}

Übungsaufgaben und Lösungen