Analysis

1. Differentialrechnung

1.2. Ableitungsregeln

1.2.7. Ableitung von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus gehören zu den trigonometrischen Funktionen(auch Winkelfunktionen genannt), die über die Kantenlängen und Winkel in Dreiecken definiert werden. Diese Art von Funktionen eignet sich für die Darstellung von Schwingungen und anderen periodischen Vorgängen. Man definiert dabei für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck und einem Winkel x (siehe Abb. 1.5.).

sin(x) =	Länge der Gegenkathete
	Länge der Hypotenuse
cos(x) =	Länge der Ankathete
	Länge der Hypotenuse

Die Graphen der Sinus- und die Kosinusfunktion kann man mit Hilfe des Einheitskreises konstruieren. Bei diesem beträgt der Radius 1, wodurch sich die Formeln in der oben genannten Definition vereinfachen. In Abb. 1.6. ist dargestellt, dass dann Sin(x) der Länge der Gegenkathete und Cos(x) der Länge der Ankathete entspricht. Dieser Wert wird in Abhängigkeit von x abgetragen und man erhält die zugehörigen Graphen.

Der Winkel x wird üblicherweise nicht in Grad, sondern im Bogenmaß (=Länge des Kreisbogens) angegeben. Eine komplette Kreisumrundung von 360° entspricht daher einem Wert von 2π im Bogenmaß.

Aus oben stehender Abbildung kann man einige nützliche Zusammenhänge ablesen, so gilt u.a. sin(x + π/2) = cos(x) . Weiterhin bilden Sinus und Cosinus ein rechtwinkliges Dreieck, wodurch man mit dem Satz von Pythagoras die Beziehung sin²(x) + cos²(x) = 1 erhält.

Für die Herleitung der Ableitungsfunktion von Sinus benötigen wir noch sogenannte Additionstheoreme, d.h. wie sich die Addition zweier Winkel auf den Funktionswert auswirkt. In Abb. 1.7. ist die Situation skizziert.

Wegen dem Einheitskreis ist die Länge der Strecke AF gleich 1. Somit gilt für die Summe der Winkel x₁ und x₂ im Dreieck ABF:

sin(x1 + x2) = BF / AF = BF = BE + EF

Die Strecke BE und CD haben die gleiche Länge, somit gilt für das Dreieck ACD:

sin(x1) = CD / AD = BE / AD

Aus dem Dreieck ADF erhalten wir mit Strecke AF gleich 1:

cos(x2) = AD / AF = AD

Dies wird in die vorhergehende Formel eingesetzt und es ergibt sich:

sin(x1) = BE / cos(x2) ⇔ BE = sin(x1) ⋅ cos(x2)

Im rechtwinkeligen Dreieck ABF müssen die verbleibenden Winkel x₁, x₂ und γ₁ in Summe 90° ergeben. Gleiches gilt im Dreieck ADF für die Winkel x₂, γ₁ und γ₂. Aus x₁ + x₂ + γ₁ = 90° = x₂ + γ₁ + γ₂ folgt somit x₁ = γ₂ .

Also gilt im Dreieck DEF gilt demnach:

cos(x1) = cos(γ2) = EF / DF

Aus dem Dreieck erhalten wir den Zusammenhang:

sin(x2) = DF / AF = DF

Dies setzen wir in die vorhergehende Formel ein und erhalten:

cos(x1) = EF / DF = EF / sin(x2) ⇔ EF = sin(x2) ⋅ cos(x1)

Schließlich werden die Ergebnisse in der Ausgangsformel zusammengefasst:

sin(x1 + x2) = BE + EF = sin(x1) ⋅ cos(x2) + sin(x2) ⋅ cos(x1)

Damit haben wir das benötigte Additionstheorem bestimmt (es gibt noch viele weitere) und können nun die Ableitung von sin(x) herleiten. Dazu verwenden wir die h-Methode aus Abschnitt 1.1.2. :

f '(x0) =	lim	f(x0 + h) - f(x0)	=	lim	sin(x0 + h) - sin(x0)
	h→0	h		h→0	h

Mit dem Additionstheorem sin(x₀ + h) = sin(x₀) ⋅ cos(h) + sin(h) ⋅ cos(x₀) folgt:

f '(x0) =	lim	sin(x0) ⋅ cos(h) + sin(h) ⋅ cos(x0) - sin(x0)
	h→0	h

f '(x0) =	lim	sin(x0)⋅(cos(h) - 1) + sin(h) ⋅ cos(x0)
	h→0	h

Nun teilen wir den Bruch auf, klammern die von Limes unabhängigen Terme aus und erweitern anschließend den 1. Bruch mit cos(h) + 1.

f '(x0) = sin(x0) ⋅	lim	cos(h) - 1	+  cos(x0) ⋅	lim	sin(h)
	h→0	h		h→0	h

f '(x0) = sin(x0) ⋅	lim	(cos(h) - 1) ⋅ (cos(h) + 1)	+  cos(x0) ⋅	lim	sin(h)
	h→0	h ⋅ (cos(h) + 1)		h→0	h

Daraus folgt mit sin²(h)+ cos²(h) = 1:

f '(x0) = -sin(x0) ⋅	lim	sin2(h)	+  cos(x0) ⋅	lim	sin(h)
	h→0	h ⋅ (cos(h) + 1)		h→0	h

Anschließend wird der vordere Bruch wiederum in konvergente Terme aufgeteilt und schließlich der Limes angewendet. Der Grenzwert von sin(h) / h für h gegen 0 beträgt 1. Dies man sich dadurch klar machen, dass die Länge eines Kreisbogens h für sehr kleine Werte annähernd dem zugehörigen Sinuswert entspricht (vgl. Abb. 1.6.).

f '(x0) = -sin(x0) ⋅	lim	sin(h)	⋅	lim	sin(h)	+  cos(x0) ⋅	lim	sin(h)
	h→0	h		h→0	cos(h) + 1		h→0	h

So erhalten wir als endgültiges Resultat:

f '(x0) = -sin(x0) ⋅ 1	⋅	0	+  cos(x0) ⋅ 1 = cos(x0)
		1 + 1

Wie sich weiter zeigen lässt, sind die Ableitungen von Sinus und Kosinus periodisch, bei Ableitung des Kosinus ändert sich jedoch das Vorzeichen. Somit gilt zusammengefasst folgendes:

f(x) =	sin(x) ⇒ f '(x) = cos(x)
f(x) =	cos(x) ⇒ f '(x) = -sin(x)

Beispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x⋅sin(x) . Es soll die Ableitungsfunktion berechnet werden.

Mit Hilfe der Produktregel erhält man:

f(x) = 2x⋅sin(x) ⇒ f '(x) = 2⋅sin(x) + 2x⋅cos(x)

Übungen

1. Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
   1. f(x) = cos(x) - 1
   2. f(x) = sin(x)⋅cos(x)
   3. f(x) = sin²(x)

Übungsaufgaben und Lösungen