Übungsaufgaben und Lösungen
Analysis
1. Differentialrechnung
1.2. Ableitungsregeln
1.2.4. Summenregel
- Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
- f(x) = 5x - 1
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Nach der Summenregel wird jeder Summand einzeln differenziert:
| f(x) = 5x - 1 ⇒ f '(x) = 5 - 0 = 5 |
- f(x) = x2 + 5x + 2
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Nach der Summenregel wird jeder Summand einzeln differenziert:
| f(x) = x2 + 5x + 2 ⇒ f '(x) = 2x + 5 + 0 = 2x + 5 |
1.2.5. Produktregel
- Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
- f(x) = (x3 + 2x + 1) ⋅ (1 - x)
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Es gilt die Produktregel mit g(x) = x3 + 2x + 1 ⇒ g '(x) = 3x2 + 2 und h(x) = 1 - x ⇒ h '(x) = -1 :
Alternativ hätte man zunächst die Klammern ausmultiplizieren und dann differenzieren können,
allerdings ging es bei dieser Übungsaufgabe darum die Produktregel anzuwenden.
| f(x) = | g(x) ⋅ h(x) | ⇒ f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h '(x) |
| f(x) = | (x3 + 2x + 1) ⋅ (1 - x) | ⇒ f '(x) = | (3x2 + 2) ⋅ (1 - x) + (x3 + 2x + 1) ⋅ (-1) |
| ⇒ f '(x) = | (3x2 + 2) - (3x3 + 2x) - (x3 + 2x + 1) | ||
| ⇒ f '(x) = | -4x3 + 3x2 - 4x + 1 |
allerdings ging es bei dieser Übungsaufgabe darum die Produktregel anzuwenden.
- f(x) = (x + 1) ⋅ (x - 1)
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Es gilt die Produktregel mit g(x) = x + 1 ⇒ g '(x) = 1 und h(x) = x - 1 ⇒ h '(x) = 1 :
Alternativ hätte man zunächst die Klammern ausmultiplizieren und dann differenzieren können,
allerdings ging es bei dieser Übungsaufgabe darum die Produktregel anzuwenden.
| f(x) = | g(x) ⋅ h(x) | ⇒ f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h '(x) |
| f(x) = | (x + 1) ⋅ (x - 1) | ⇒ f '(x) = | 1 ⋅ (x - 1) + (x + 1) ⋅ 1 |
| ⇒ f '(x) = | 2x |
allerdings ging es bei dieser Übungsaufgabe darum die Produktregel anzuwenden.
1.2.6. Quotientenregel
- Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
- f(x) = x / (x2 + 1)
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Es gilt die Quotientenregel mit g(x) = x ⇒ g '(x) = 1 und h(x) = x2 + 1 ⇒ h '(x) = 2x :
| f (x) = | g(x) | ⇒ f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) - g(x) ⋅ h '(x) |
| h(x) | (h(x))2 | ||
| f (x) = | x | ⇒ f '(x) = | 1 ⋅ (x2 + 1) - x ⋅ 2x |
| x2 + 1 | (x2 + 1)2 | ||
| ⇒ f '(x) = | 1 - x2 | ||
| (x2 + 1)2 | |||
- f(x) = (x2 + x + 1) / (x - 1) für x ∈ IR \ {1}
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Es gilt die Quotientenregel mit g(x) = x2 + x + 1 ⇒ g '(x) = 2x + 1 und h(x) = x - 1 ⇒ h '(x) = 1 :
| f (x) = | g(x) | ⇒ f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) - g(x) ⋅ h '(x) |
| h(x) | (h(x))2 | ||
| f (x) = | x2 + x + 1 | ⇒ f '(x) = | (2x + 1) ⋅ (x - 1) - (x2 + x + 1) ⋅ 1 |
| x - 1 | (x - 1)2 | ||
| ⇒ f '(x) = | x2 - 2x - 2 | ||
| (x - 1)2 | |||