Übungsaufgaben und Lösungen
Analysis
1. Differentialrechnung
1.2. Ableitungsregeln
1.2.7. Ableitung von Sinus und Kosinus
- Man berechne zu folgenden Funktionen f(x) jeweils die Ableitungsfunktion f '(x):
- f(x) = cos(x) - 1
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Die Ableitung von cos(x) ergibt -sin(x) und der konstante Summand (-1) fällt beim Differenzieren weg:
| f(x) = cos(x) - 1 ⇒ f '(x) = -sin(x) |
- f(x) = sin(x)⋅cos(x)
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Hier kann man die Produktregel verwenden:
Nun kann man noch die Formel sin2(x) + cos2(x) = 1 verwenden.
Umgeformt erhält man cos2(x) = 1 - sin2(x) und erhält nach dem Einsetzen:
| f(x) = | g(x) ⋅ h(x) | ⇒ | f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h '(x) |
| f(x) = | sin(x) ⋅ cos(x) | ⇒ | f '(x) = | cos(x) ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (-sin(x)) |
| ⇒ | f '(x) = | cos2(x) - sin2(x) |
Umgeformt erhält man cos2(x) = 1 - sin2(x) und erhält nach dem Einsetzen:
| f(x) = | sin(x) ⋅ cos(x) | ⇒ | f '(x) = | 1 - 2 ⋅ sin2(x) |
- f(x) = sin2(x)
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Da die Kettenregel erst im nachfolgenden Abschnitt behandelt wird,
muss man hier auf die Produktregel zurückgreifen:
muss man hier auf die Produktregel zurückgreifen:
| f(x) = | g(x) ⋅ h(x) | ⇒ | f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h '(x) |
| f(x) = | sin(x) ⋅ sin(x) | ⇒ | f '(x) = | cos(x) ⋅ sin(x) + sin(x) ⋅ cos(x) |
| ⇒ | f '(x) = | 2 sin(x) cos(x) |
1.2.8. Kettenregel
- Man berechne zu folgenden Funktionen jeweils die Ableitungsfunktion mit Hilfe der Kettenregel:
- f(x) = cos(1 - x)
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Es gilt die Kettenregel, die äußere Funktion lautet g(x) = cos(x) und die innere Funktion h(x) = 1 - x.
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = -sin(x) und h '(x) = -1.
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = -sin(x) und h '(x) = -1.
| f '(x) = | g '(h(x)) ⋅ h '(x) |
| f '(x) = | -sin(1 - x) ⋅ (-1) |
| f '(x) = | sin(1 - x) |
- f(x) = (1 - x)5
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Es gilt die Kettenregel, die äußere Funktion lautet g(x) = x5 und die innere Funktion h(x) = 1 - x.
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = 5x4 und h '(x) = -1.
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = 5x4 und h '(x) = -1.
| f '(x) = | g '(h(x)) ⋅ h '(x) |
| f '(x) = | 5(1 - x)4 ⋅ (-1) |
| f '(x) = | -5(1 - x)4 |
- f(x) = sin2(x)
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Diese Übungsaufgabe wurde bereits im vorherigen Abschnitt mit Hilfe der Produktregel gelöst.
Nun wird eine alternative Lösung mit Hilfe der Kettenregel dargestellt.
Hierbei lauten die äußere Funktion g(x) = x2 und die innere Funktion h(x) = sin(x) .
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = 2x und h '(x) = cos(x) .
Nun wird eine alternative Lösung mit Hilfe der Kettenregel dargestellt.
Hierbei lauten die äußere Funktion g(x) = x2 und die innere Funktion h(x) = sin(x) .
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = 2x und h '(x) = cos(x) .
| f '(x) = | g '(h(x)) ⋅ h '(x) |
| f '(x) = | 2 sin(x) cos(x) |
1.2.9. Ableitung einer Umkehrfunktion
Es soll die Ableitung von f(x) = ln(x) für x > 0 mit Hilfe der Umkehrregel bestimmt werden.
Hinweis: f(x) = exp(x) => f '(x) = exp(x)
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Zunächst wird die Umkehrfunktion gebildet: x = exp(y) = ( f -1) (y)
Nun bildet man deren Ableitung: ( f -1) '(y) = exp(y)
Schließlich erhält man mit der Formel:
Nun bildet man deren Ableitung: ( f -1) '(y) = exp(y)
Schließlich erhält man mit der Formel:
| f '(x) = | 1 | = | 1 | ||
| ( f -1) '(y) | ( f -1) '(f(x)) | ||||
| f '(x) = | 1 | = | 1 | = | 1 |
| exp(y) | exp(ln(x)) | x |
1.2.10. Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktion
- Man berechne zu folgenden Funktionen jeweils die Ableitungsfunktion:
- f(x) = x ⋅ exp(x)
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Es gilt die Produktregel:
| f(x) = | g(x) ⋅ h(x) | ⇒ | f '(x) = | g '(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h '(x) |
| f(x) = | x ⋅ exp(x) | ⇒ | f '(x) = | 1 ⋅ exp(x) + x ⋅ exp(x) |
| ⇒ | f '(x) = | (x + 1) ⋅ exp(x) |
- f(x) = ln(x2) mit x ≠ 0
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Es gilt die Kettenregel, die äußere Funktion lautet g(x) = ln(x) und die innere Funktion h(x) = x2.
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = 1 / x und h '(x) = 2x.
Noch einfacher ist es die Funktion zunächst als f(x) = 2 ⋅ ln(x) zu schreiben und anschließend zu differenzieren.
Daraus folgen die Ableitungen g '(x) = 1 / x und h '(x) = 2x.
| f '(x) = | g '(h(x)) | ⋅ h '(x) |
| f '(x) = | 1 | ⋅ 2x |
| x2 | ||
| f '(x) = | 2 | |
| x |